$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、 $b = |2\sqrt{2}-3|$とする。 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a+b$の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、 $b = |2\sqrt{2}-3|$とする。

(1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a+b$の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$の分母を有理化する。

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$の分母分子に$\sqrt{2}+1$をかける。

$a = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$

(2) $b$の値を計算する。

$2\sqrt{2} = \sqrt{4\times2} = \sqrt{8}$であり、$3 = \sqrt{9}$なので、$2\sqrt{2} < 3$である。

よって、$2\sqrt{2}-3 < 0$。

したがって、$b = |2\sqrt{2}-3| = -(2\sqrt{2}-3) = 3-2\sqrt{2}$

$a+b$の値を求める。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 3+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2} = 6$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の値を求める。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+2\sqrt{ab}+b = a+b+2\sqrt{ab}$

$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4\times2 = 9-8 = 1$

$\sqrt{ab} = \sqrt{1} = 1$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab} = 6+2(1) = 6+2 = 8$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a+b = 6$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 8$