大小2つの円が点A, Cで交わっている。AB, CBは小さい円の接線、AD, CEは大きい円の接線である。点Bは大きい円の周上にあり、∠BAD = 102°のとき、∠ECDの大きさを求める。

1. 問題の内容

大小2つの円が点A, Cで交わっている。AB, CBは小さい円の接線、AD, CEは大きい円の接線である。点Bは大きい円の周上にあり、∠BAD = 102°のとき、∠ECDの大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、円の接線と弦のなす角に関する定理を利用する。

小さい円において、接線ABと弦ACのなす角∠BACは、円周角∠BCAと等しい。つまり、

$∠BAC = ∠BCA$

大きい円において、接線ADと弦AEのなす角∠DAEは、円周角∠ADEと等しい。つまり、

$∠DAE = ∠ADE$

同様に、接線CEと弦CDのなす角∠ECDは、円周角∠EDCと等しい。つまり、

$∠ECD = ∠EDC$

∠BAD = 102°であるから、∠BAC = 180° - ∠BAD = 180° - 102° = 78°

したがって、∠BCA = 78°

四角形ACDEは円に内接しているので、対角の和は180°である。

したがって、∠CAE + ∠CDE = 180°

∠CAE = ∠CAB + ∠BAE = ∠CAB + (180 - ∠BAD)

∠BAD = 102°より、∠CAB = 180 - 102 = 78

よって∠CAB = 78

∠BAC = ∠BCA = 78より∠ABC = 180 - (78+78) = 24

∠BAD = 102より、∠BAE = 180 - 102 = 78

∠CAE = ∠BAE - ∠BAC = 180 - 102 - ∠BAC

∠BAE = 180 - 102 = 78°

∠CAE = ∠BAE - ∠BAC = 78 - ∠BAC

$\angle BAC = 180 - \angle BAD = 180 - 102 = 78^{\circ}$

$\angle ACB = \angle BAC = 78^{\circ}$ （円の接線と弦のなす角の定理）

四角形ACDEは円に内接するので $\angle CDE + \angle CAE = 180^{\circ}$

$\angle CAE = \angle BAE - \angle BAC$

$\angle BAE = 180 - \angle BAD$ (直線BAQ)

$\angle BAE = 180 - 102 = 78^{\circ}$

$\angle CAE = 78 - 78 = 0$ ？？？

$\angle ACB + \angle BCE = 180$

∠BAD = 102より∠BAC = 180 - 102 = 78

よって∠BCA = 78

∠CAB + ∠EAD = 180

∠ECD + ∠EAD = 180

$∠ECD = 180^{\circ} - \angle ADE$

∠ABC = 180 - (78+78) = 24

$\angle BAD = 102^{\circ}$ なので $∠BAC = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}$

小さい円について、接弦定理より $∠BCA = ∠BAC = 78^{\circ}$

大きい円について、方べきの定理より CD x CA = CE x CB

3. 最終的な答え

∠ECD = 78°