$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$ のとき、$\cos\theta = \frac{5}{8}$ のときの $\cos\frac{\theta}{2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$ のとき、$\cos\theta = \frac{5}{8}$ のときの $\cos\frac{\theta}{2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$ より、$\frac{3}{4}\pi < \frac{\theta}{2} < \pi$ である。

この範囲において、$\cos\frac{\theta}{2}$ は負の値をとる。

$\cos\theta$ の半角の公式は、

$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}$

である。これに $\cos\theta = \frac{5}{8}$ を代入すると、

$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \frac{5}{8}}{2} = \frac{\frac{13}{8}}{2} = \frac{13}{16}$

したがって、

$\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{13}{16}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{4}$

$\frac{3}{4}\pi < \frac{\theta}{2} < \pi$ より、$\cos\frac{\theta}{2} < 0$ であるから、

$\cos\frac{\theta}{2} = -\frac{\sqrt{13}}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{13}}{4}$