$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = x^2 - 2x - 2$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = x^2 - 2x - 2$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2x - 2 = (x - 1)^2 - 3$

この関数のグラフは、軸が $x=1$ の下に凸な放物線である。定義域が $0 \le x \le a$ であるので、最大値は $a$ の値によって変化する。

(i) $0 < a < 1$ のとき：

定義域の範囲において、グラフは単調減少である。したがって、最大値は $x=0$ のときに取られ、その値は

$y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

(ii) $a = 1$ のとき：

定義域の範囲において、グラフは $x=1$ を含む。$x=0$ で最大値を取り、その値は

$y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

(iii) $a > 1$ のとき：

このとき、$x=a$ で最大値を取る。したがって、最大値は

$y = a^2 - 2a - 2$

まとめると、

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-2$

$a > 1$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-2$

$a > 1$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$