各辺の長さが1の平行六面体において、ベクトル $\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}$、$\angle AOB = \frac{\pi}{3}, \angle AOC = \angle BOC = \frac{\pi}{4}$とする。 (1) 平行四辺形OAPBの面積を求めよ。 (2) 点Cから平行四辺形OAPBにおろした垂線と平行四辺形OAPBとの交点をHとするとき、ベクトル$\vec{CH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$の1次結合で表し、また、$|\vec{CH}|$を求めよ。 (3) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を3辺とする平行六面体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

各辺の長さが1の平行六面体において、ベクトル $\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}$、$\angle AOB = \frac{\pi}{3}, \angle AOC = \angle BOC = \frac{\pi}{4}$とする。

(1) 平行四辺形OAPBの面積を求めよ。

(2) 点Cから平行四辺形OAPBにおろした垂線と平行四辺形OAPBとの交点をHとするとき、ベクトル$\vec{CH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$の1次結合で表し、また、$|\vec{CH}|$を求めよ。

(3) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を3辺とする平行六面体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形OAPBの面積は、 $|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\angle AOB}$で計算できる。

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$より、

$S = 1 \times 1 \times \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\vec{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$とおく。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}$

$\vec{CH} \perp \vec{a}$より、$\vec{CH} \cdot \vec{a} = 0$

$\vec{CH} \cdot \vec{b} = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{b} = 0$

$s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

$s(\vec{b} \cdot \vec{a}) + t|\vec{b}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\frac{\pi}{3}} = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos{\frac{\pi}{4}} = 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos{\frac{\pi}{4}} = 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$s + \frac{1}{2}t - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

$\frac{1}{2}s + t - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

$2s + t = \sqrt{2}$

$s + 2t = \sqrt{2}$

$3t = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = \frac{\sqrt{2}}{6}$

$s = \sqrt{2} - 2t = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\vec{CH} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{6}\vec{b} - \vec{c}$

$|\vec{CH}|^2 = (\frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{6}\vec{b} - \vec{c}) \cdot (\frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{6}\vec{b} - \vec{c})$

$= (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2|\vec{a}|^2 + (\frac{\sqrt{2}}{6})^2|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{6} (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - 2 \times \frac{\sqrt{2}}{6} (\vec{b} \cdot \vec{c})$

$= \frac{8}{9} + \frac{2}{36} + 1 + 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{6} \times \frac{1}{2} - 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \times \frac{\sqrt{2}}{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{8}{9} + \frac{1}{18} + 1 + \frac{2}{9} - \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

$= \frac{16 + 1 + 18 + 4 - 24 - 6}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

$|\vec{CH}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) 体積$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin{\frac{\pi}{3}} = 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$(\vec{a} \times \vec{b})$はベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$の両方に垂直。$(\vec{a} \times \vec{b})$と$\vec{c}$のなす角を$\theta$とする。

$V = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos{\theta}| = |\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 \times \cos{\theta}|$

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = |\vec{a} \times \vec{b}||\vec{c}| \cos{\theta}$

$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a} \times \vec{b}| \vec{n}$, ただし$\vec{n}$は$\vec{a}$, $\vec{b}$に垂直な単位ベクトル

$\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$, $\vec{n} \cdot \vec{b} = 0$

$\cos{\alpha} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\alpha = \frac{\pi}{4}$

$\cos{\beta} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\beta = \frac{\pi}{4}$

$\vec{OH} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{6} \vec{b}$

$\cos\theta = \frac{|\vec{CH}|}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ベクトル三重積の公式より

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

$V = \sqrt{1+2(\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma)-(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)}$

$\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\beta = \frac{\pi}{4}$, $\gamma = \frac{\pi}{4}$

$V = \sqrt{1 + 2(\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{2}{4})} = \sqrt{1 + \frac{1}{2} - \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{4+2-5}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\vec{CH} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{6}\vec{b} - \vec{c}$, $|\vec{CH}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{1}{2}$