(1) 50! が $3^n$ で割り切れるような自然数 $n$ の最大値を求める。 (2) 今日は日曜日で、10日後は水曜日である。100日後と100万日後がそれぞれ何曜日かを理由と共に答える。

1. 問題の内容

(1) 50! が $3^n$ で割り切れるような自然数 $n$ の最大値を求める。

(2) 今日は日曜日で、10日後は水曜日である。100日後と100万日後がそれぞれ何曜日かを理由と共に答える。

2. 解き方の手順

(1) 50! が $3^n$ で割り切れるような $n$ の最大値を求める。

50!に含まれる3の個数を数える。

* 50以下の3の倍数の個数は $\lfloor \frac{50}{3} \rfloor = 16$

* 50以下の$3^2=9$の倍数の個数は $\lfloor \frac{50}{9} \rfloor = 5$

* 50以下の$3^3=27$の倍数の個数は $\lfloor \frac{50}{27} \rfloor = 1$

* 50以下の$3^4=81$の倍数の個数は $\lfloor \frac{50}{81} \rfloor = 0$

したがって、50!に含まれる3の個数は $16 + 5 + 1 = 22$

よって、50! が $3^{22}$ で割り切れる。$n$ の最大値は22。

(2) 今日は日曜日で、10日後は水曜日である。

10日後は水曜日であることから、曜日は7日周期で繰り返される。

100日後は、 $100 \equiv x \pmod{7}$ を計算する。

$100 = 7 \times 14 + 2$ より、$100 \equiv 2 \pmod{7}$。

よって、100日後は今日から2日後。今日が日曜日なので、100日後は火曜日。

100万日後は、$1000000 \equiv y \pmod{7}$ を計算する。

$1000000 = 7 \times 142857 + 1$ より、$1000000 \equiv 1 \pmod{7}$。

よって、100万日後は今日から1日後。今日が日曜日なので、100万日後は月曜日。

3. 最終的な答え

(1) 22

(2) 100日後は火曜日、100万日後は月曜日。