中心が直線 $y=2x+1$ 上にあり、x軸に接して、点 $(-1, 1)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が直線 $y=2x+1$ 上にあり、x軸に接して、点 $(-1, 1)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心を $(a, b)$ とすると、円は直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、

$b = 2a + 1$

と表せる。

x軸に接する円なので、円の半径は $|b|$ となる。

したがって、円の方程式は

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = b^2$

と表せる。

この円は点 $(-1, 1)$ を通るので、

$(-1 - a)^2 + (1 - b)^2 = b^2$

が成り立つ。

$b = 2a + 1$ を代入すると、

$(-1 - a)^2 + (1 - (2a + 1))^2 = (2a + 1)^2$

$(a + 1)^2 + (-2a)^2 = (2a + 1)^2$

$a^2 + 2a + 1 + 4a^2 = 4a^2 + 4a + 1$

$a^2 - 2a = 0$

$a(a - 2) = 0$

したがって、$a = 0$ または $a = 2$ となる。

(i) $a = 0$ のとき、$b = 2a + 1 = 1$。半径は $1$ なので、円の方程式は

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

(ii) $a = 2$ のとき、$b = 2a + 1 = 5$。半径は $5$ なので、円の方程式は

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$

3. 最終的な答え

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$