空間座標に3点A(4, 0, 2), B(0, 3, 5), C(5, 9, 0)が与えられている。原点Oから直線ABに下ろした垂線の足をH、点Cから直線ABに下ろした垂線の足をH'とする。 (1) OHベクトルをOAベクトルとOBベクトルで表す。 (2) CH'ベクトルをCAベクトルとCBベクトルで表す。 (3) 点Pを線分OC上にとり、三角形PHH'の面積が$\frac{\sqrt{34}}{4}$となるようにする。点Pから直線ABに下ろした垂線の足をQとするとき、PQの長さを求める。

1. 問題の内容

空間座標に3点A(4, 0, 2), B(0, 3, 5), C(5, 9, 0)が与えられている。原点Oから直線ABに下ろした垂線の足をH、点Cから直線ABに下ろした垂線の足をH'とする。

(1) OHベクトルをOAベクトルとOBベクトルで表す。

(2) CH'ベクトルをCAベクトルとCBベクトルで表す。

(3) 点Pを線分OC上にとり、三角形PHH'の面積が$\frac{\sqrt{34}}{4}$となるようにする。点Pから直線ABに下ろした垂線の足をQとするとき、PQの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) Hは直線AB上にあるので、OH = (1-t)OA + tOBと表せる。OHベクトルとABベクトルが垂直なので、OH・AB = 0となる。

AB = B - A = (-4, 3, 3)なので、

OH = (1-t)(4, 0, 2) + t(0, 3, 5) = (4-4t, 3t, 2+3t)

OH・AB = (4-4t)(-4) + (3t)(3) + (2+3t)(3) = -16+16t + 9t + 6 + 9t = 34t - 10 = 0

よって、$t = \frac{10}{34} = \frac{5}{17}$

OH = (1 - 5/17)OA + (5/17)OB = (12/17)OA + (5/17)OB

(2) H'も直線AB上にあるので、AH' = sABと表せる。

CH' = AH' - AC = sAB - AC

CH'とABが垂直なので、CH'・AB = 0

CA = A - C = (-1, -9, 2)

CH' = s(-4, 3, 3) - (-1, -9, 2) = (-4s+1, 3s+9, 3s-2)

CH'・AB = (-4s+1)(-4) + (3s+9)(3) + (3s-2)(3) = 16s - 4 + 9s + 27 + 9s - 6 = 34s + 17 = 0

よって、$s = -\frac{17}{34} = -\frac{1}{2}$

AH' = -1/2 AB = -1/2 (B - A)

CH' = AH' - AC = -1/2(B - A) - (A - C) = -1/2B + 1/2A - A + C = -1/2B - 1/2A + C = -1/2(A+B) + C

CH' = C - 1/2A - 1/2B = C - 1/2(CA + AC) - 1/2(CB + BC)

CH' = 1/2 CA + 1/2 CB

(3) Pは線分OC上にあるので、OP = kOC = k(5, 9, 0)と表せる。

H(48/17, 15/17, 34/17), H' (2, 3/2, 7/2)

HH' = H' - H = (2-48/17, 3/2-15/17, 7/2-34/17) = (-14/17, -9/34, 51/34)

三角形PHH'の面積 = 1/2 |PH x PH'| = $\frac{\sqrt{34}}{4}$

PH = H - P = (48/17 - 5k, 15/17 - 9k, 34/17)

PH' = H' - P = (2-5k, 3/2 - 9k, 7/2)

PH x PH' = ((15/17-9k)(7/2) - (34/17)(3/2-9k), (34/17)(2-5k)-(48/17-5k)(7/2), (48/17-5k)(3/2-9k)-(15/17-9k)(2-5k))

|PH x PH'|^2 = ...

PQはABと平行なので、PQ = nAB = n(-4,3,3)

PQ = Q - P

Q = P + PQ = (5k-4n, 9k+3n, 3n)

QはAB上にあるので、Q = (1-t)A + tB

(5k-4n, 9k+3n, 3n) = (1-t)(4,0,2) + t(0,3,5) = (4-4t, 3t, 2+3t)

5k-4n = 4-4t, 9k+3n = 3t, 3n = 2+3t

3n = 2+3t → n = (2+3t)/3 → 9k+3n = 3t → 9k + 2 + 3t = 3t → 9k = -2 → k = -2/9

k>0なので、Pは線分OC上にない。

3. 最終的な答え

(1) アイ: 12, ウエ: 17, オ: 5, カキ: 17

(2) ク: 1, ケ: 2, コ: 1, サ: 2

すみません、(3)の答えを求めることができませんでした。