四角形ABCDが円に内接している。直線ABと直線CDの交点をE、直線ADと直線BCの交点をFとする。$AB=4b$, $BE=a$, $EC=2a$, $CD=b$ のとき、$\frac{DE}{AE}$ と $\frac{DF}{AD}$ を求める。$\frac{DE}{AE} = \frac{3}{5}$である。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接している。直線ABと直線CDの交点をE、直線ADと直線BCの交点をFとする。$AB=4b$, $BE=a$, $EC=2a$, $CD=b$ のとき、$\frac{DE}{AE}$ と $\frac{DF}{AD}$ を求める。$\frac{DE}{AE} = \frac{3}{5}$である。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle EBC$と$\triangle EAD$は相似である。

なぜなら、$\angle E$ は共通であり、円周角の定理より、$\angle EBC = \angle ADC$。よって$\angle ECB = \angle DAE$ となり、2角がそれぞれ等しいので相似である。

したがって、$\frac{EB}{EA} = \frac{EC}{ED} = \frac{BC}{AD}$ が成り立つ。

ここで、$EB=a, EC=2a, AB=4b$ より、$EA = AB+BE = 4b+a$。また、$BC = BE + EC = a + 2a = 3a$。

$\frac{EC}{ED} = \frac{2a}{ED}$ なので、$ED = \frac{2a \cdot EA}{EB} = \frac{2a(4b+a)}{a} = 8b+2a$

$\frac{DE}{AE} = \frac{8b+2a}{4b+a} = \frac{3}{5}$

$5(8b+2a) = 3(4b+a)$

$40b+10a = 12b+3a$

$28b = -7a$

$a = -4b$

これは明らかに不適なので問題に間違いがある。

一旦$\frac{DE}{AE}=\frac{3}{5}$として$\frac{DF}{AD}$を求める。

$\triangle FDC$と$\triangle FAB$は相似である。

$\angle F$は共通であり、$\angle FDC = \angle FAB$ （円周角の定理）

したがって、$\frac{FD}{FA} = \frac{DC}{AB} = \frac{FC}{FB}$

$\frac{DC}{AB} = \frac{b}{4b} = \frac{1}{4}$

よって$\frac{FD}{FA} = \frac{1}{4}$

$4FD = FA$

$4FD = FD + AD$

$3FD = AD$

$\frac{DF}{AD} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{DF}{AD} = \frac{1}{3}$