問題文は、次の4つの一次関数について、与えられた定義域におけるグラフを描き、値域、最大値、最小値を求めるものです。 (1) $y = 2x - 3 \quad (-1 \le x \le 4)$ (2) $y = 3 - 2x \quad (-1 \le x \le 2)$ (3) $y = \frac{1}{2}x + 4 \quad (-2 \le x \le 2)$ (4) $y = -\frac{3}{2}x - 1 \quad (x \le 0)$

1. 問題の内容

問題文は、次の4つの一次関数について、与えられた定義域におけるグラフを描き、値域、最大値、最小値を求めるものです。

(1) $y = 2x - 3 \quad (-1 \le x \le 4)$

(2) $y = 3 - 2x \quad (-1 \le x \le 2)$

(3) $y = \frac{1}{2}x + 4 \quad (-2 \le x \le 2)$

(4) $y = -\frac{3}{2}x - 1 \quad (x \le 0)$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、以下の手順で解きます。

1. 定義域の両端の $x$ の値を関数に代入し、$y$ の値を求めます。

2. 求めた2点を通る直線をグラフとして描きます。定義域で指定された範囲のみ描きます。

3. $y$ の最大値と最小値をグラフから読み取ります。定義域の端点で $y$ が最大または最小となります。

4. 値域は、最小値から最大値までの範囲として表します。

(1) $y = 2x - 3 \quad (-1 \le x \le 4)$

* $x = -1$ のとき、$y = 2(-1) - 3 = -5$

* $x = 4$ のとき、$y = 2(4) - 3 = 5$

グラフは点 $(-1, -5)$ と点 $(4, 5)$ を結ぶ線分となります。

最大値は $5$ (x=4のとき)、最小値は $-5$ (x=-1のとき) です。

値域は $-5 \le y \le 5$ です。

(2) $y = 3 - 2x \quad (-1 \le x \le 2)$

* $x = -1$ のとき、$y = 3 - 2(-1) = 5$

* $x = 2$ のとき、$y = 3 - 2(2) = -1$

グラフは点 $(-1, 5)$ と点 $(2, -1)$ を結ぶ線分となります。

最大値は $5$ (x=-1のとき)、最小値は $-1$ (x=2のとき) です。

値域は $-1 \le y \le 5$ です。

(3) $y = \frac{1}{2}x + 4 \quad (-2 \le x \le 2)$

* $x = -2$ のとき、$y = \frac{1}{2}(-2) + 4 = 3$

* $x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{2}(2) + 4 = 5$

グラフは点 $(-2, 3)$ と点 $(2, 5)$ を結ぶ線分となります。

最大値は $5$ (x=2のとき)、最小値は $3$ (x=-2のとき) です。

値域は $3 \le y \le 5$ です。

(4) $y = -\frac{3}{2}x - 1 \quad (x \le 0)$

$x$ は0以下のすべての実数をとるので、定義域には下限がありません。

* $x = 0$ のとき、$y = -\frac{3}{2}(0) - 1 = -1$

グラフは点 $(0, -1)$ を通り、傾きが $-\frac{3}{2}$ の直線です。xが小さくなるにつれてyは大きくなります。

最大値は $-1$ (x=0のとき)で、最小値はありません。

値域は $y \ge -1$ です。

3. 最終的な答え

(1)

グラフ: 点 $(-1, -5)$ と点 $(4, 5)$ を結ぶ線分

最大値: $5$

最小値: $-5$

値域: $-5 \le y \le 5$

(2)

グラフ: 点 $(-1, 5)$ と点 $(2, -1)$ を結ぶ線分

最大値: $5$

最小値: $-1$

値域: $-1 \le y \le 5$

(3)

グラフ: 点 $(-2, 3)$ と点 $(2, 5)$ を結ぶ線分

最大値: $5$

最小値: $3$

値域: $3 \le y \le 5$

(4)

グラフ: 点 $(0, -1)$ を通り、傾きが $-\frac{3}{2}$ の半直線

最大値: $-1$

最小値: なし

値域: $y \ge -1$