関数 $y = ax + b$ ($3 \le x \le 5$) の値域が $-1 \le y \le 3$ である。$a > 0$ のとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ ($3 \le x \le 5$) の値域が $-1 \le y \le 3$ である。$a > 0$ のとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$a > 0$ なので、$x$ が増加すると $y$ も増加する。したがって、$x = 3$ のとき $y = -1$ であり、$x = 5$ のとき $y = 3$ である。

これらの条件から、次の2つの式が得られる。

$3a + b = -1$

$5a + b = 3$

これらの式を連立方程式として解く。

第2の式から第1の式を引くと、

$5a + b - (3a + b) = 3 - (-1)$

$2a = 4$

$a = 2$

$a = 2$ を最初の式に代入すると、

$3(2) + b = -1$

$6 + b = -1$

$b = -7$

したがって、$a = 2$, $b = -7$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -7$