与えられた方程式と不等式を解く問題です。 (1) $2^{3x-3} = 64$ (2) $(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{27})^x$ (3) $\log_3(-3x+9) = 3$ (4) $\log_3(2x-3) < 2$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解く問題です。

(1) $2^{3x-3} = 64$

(2) $(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{27})^x$

(3) $\log_3(-3x+9) = 3$

(4) $\log_3(2x-3) < 2$

2. 解き方の手順

(1) $2^{3x-3} = 64$ を解きます。

まず、$64$を$2$の累乗で表すと、$64 = 2^6$です。

したがって、$2^{3x-3} = 2^6$ となります。

指数部分を比較すると、$3x-3 = 6$

$3x = 9$

$x = 3$

(2) $(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{27})^x$ を解きます。

まず、$\frac{1}{27}$を$\frac{1}{3}$の累乗で表すと、$\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$です。

したがって、$(\frac{1}{3})^{x+1} < ((\frac{1}{3})^3)^x$ となり、$(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{3})^{3x}$ となります。

底が1より小さいので、指数部分の大小関係は逆転します。

$x+1 > 3x$

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$

(3) $\log_3(-3x+9) = 3$ を解きます。

対数の定義から、$-3x+9 = 3^3$

$-3x+9 = 27$

$-3x = 18$

$x = -6$

ここで、真数条件を確認します。

$-3x+9 > 0$ である必要があるので、$-3(-6)+9 = 18+9 = 27 > 0$。よって、$x=-6$ は解として適切です。

(4) $\log_3(2x-3) < 2$ を解きます。

まず、真数条件より、$2x-3 > 0$である必要があります。よって、$x > \frac{3}{2}$。

次に、不等式を変形します。

$\log_3(2x-3) < \log_3(3^2)$

$\log_3(2x-3) < \log_3(9)$

底が1より大きいので、真数部分の大小関係はそのままです。

$2x-3 < 9$

$2x < 12$

$x < 6$

真数条件と合わせて、$\frac{3}{2} < x < 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $x < \frac{1}{2}$

(3) $x = -6$

(4) $\frac{3}{2} < x < 6$