$\log_{10} 2 = 0.301$ とする。不等式 $10^a < (\frac{2}{100})^5 < 10^b$ を満たす $a$ のうち最も大きな整数と、$b$ のうち最も小さな整数を求める。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.301$ とする。不等式 $10^a < (\frac{2}{100})^5 < 10^b$ を満たす $a$ のうち最も大きな整数と、$b$ のうち最も小さな整数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(\frac{2}{100})^5$ を対数で評価する。

$10^a < (\frac{2}{100})^5 < 10^b$ の各辺の常用対数を取り、

$\log_{10} 10^a < \log_{10} (\frac{2}{100})^5 < \log_{10} 10^b$

$a < 5 \log_{10} (\frac{2}{100}) < b$

$5 \log_{10} (\frac{2}{100}) = 5 (\log_{10} 2 - \log_{10} 100)$

$= 5 (\log_{10} 2 - \log_{10} 10^2)$

$= 5 (\log_{10} 2 - 2)$

$\log_{10} 2 = 0.301$ より、

$5 (0.301 - 2) = 5 (-1.699) = -8.495$

したがって、$a < -8.495 < b$ を満たす。

$a$ のうち最も大きな整数は -9 である。

$b$ のうち最も小さな整数は -8 である。

3. 最終的な答え

$a$ のうち最も大きな整数は -9。

$b$ のうち最も小さな整数は -8。