次の3次方程式を解く問題です。 (2) $x^3 + 4x^2 - 8 = 0$

1. 問題の内容

次の3次方程式を解く問題です。

(2) $x^3 + 4x^2 - 8 = 0$

2. 解き方の手順

3次方程式を解くために、因数定理を利用します。因数定理とは、$P(a) = 0$ となる $a$ が存在すれば、$P(x)$ は $(x-a)$ を因数に持つという定理です。

まず、$x^3 + 4x^2 - 8 = 0$ の左辺を $P(x)$ とおきます。

$P(x) = x^3 + 4x^2 - 8$

次に、$P(a) = 0$ となる $a$ を探します。$a$ は定数項 $-8$ の約数である可能性が高いです。$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$ を試してみます。

$P(1) = 1^3 + 4(1)^2 - 8 = 1 + 4 - 8 = -3 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 + 4(-1)^2 - 8 = -1 + 4 - 8 = -5 \neq 0$

$P(2) = 2^3 + 4(2)^2 - 8 = 8 + 16 - 8 = 16 \neq 0$

$P(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 - 8 = -8 + 16 - 8 = 0$

$P(-2) = 0$ なので、$P(x)$ は $(x+2)$ を因数に持ちます。

$P(x)$ を $(x+2)$ で割ります。

```

x^2 + 2x - 4

x+2 | x^3 + 4x^2 + 0x - 8

x^3 + 2x^2

----------

2x^2 + 0x

2x^2 + 4x

----------

-4x - 8

-4x - 8

----------

0

```

したがって、$x^3 + 4x^2 - 8 = (x+2)(x^2 + 2x - 4) = 0$ となります。

$(x+2)(x^2 + 2x - 4) = 0$ より、$x+2=0$ または $x^2 + 2x - 4 = 0$ となります。

$x+2=0$ から、$x = -2$ が得られます。

$x^2 + 2x - 4 = 0$ を解くために、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x = -2, -1 + \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = -2, -1 + \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5}$