2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a$ が与えられている。 (1) $a=1$ のときの $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。 (2) $0 < a < 1$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値が $\frac{15}{4}$ となるような $a$ の値を求める。 (3) $a > 0$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M - m = 6$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a$ が与えられている。

(1) $a=1$ のときの $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

(2) $0 < a < 1$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値が $\frac{15}{4}$ となるような $a$ の値を求める。

(3) $a > 0$ のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M - m = 6$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3$ となる。

$f(x)$ は $x = 1$ のときに最小値 3 をとる。

(2) $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a = (x-a)^2 + 3a$ であるから、軸は $x = a$ である。

$0 < a < 1$ より、$0 \le x \le 2$ の範囲において、$x=2$ のとき最大値をとる。

よって、$f(2) = 4 - 4a + a^2 + 3a = a^2 - a + 4 = \frac{15}{4}$

$a^2 - a + 4 - \frac{15}{4} = 0$

$a^2 - a + \frac{1}{4} = 0$

$(a - \frac{1}{2})^2 = 0$

$a = \frac{1}{2}$

これは $0 < a < 1$ を満たす。

(3) $f(x) = (x - a)^2 + 3a$

$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値 $M$、最小値 $m$ を考える。

軸 $x = a$ と定義域 $0 \le x \le 2$ の位置関係で場合分けする。

(i) $0 < a < 2$ のとき、$m = f(a) = 3a$。

$M$ は、$f(0) = a^2 + 3a$ と $f(2) = 4 - a + a^2$ のどちらか大きい方になる。

$f(2) - f(0) = (a^2 - a + 4) - (a^2 + 3a) = -4a + 4 = 4(1 - a)$

$0 < a < 1$ のとき、$f(2) > f(0)$ より、$M = f(2) = a^2 - a + 4$。

$1 \le a < 2$ のとき、$f(2) \le f(0)$ より、$M = f(0) = a^2 + 3a$。

(i-1) $0 < a < 1$ のとき、$M - m = (a^2 - a + 4) - 3a = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2 = 6$

$a - 2 = \pm \sqrt{6}$

$a = 2 \pm \sqrt{6}$

これは $0 < a < 1$ を満たさない。

(i-2) $1 \le a < 2$ のとき、$M - m = (a^2 + 3a) - 3a = a^2 = 6$

$a = \pm \sqrt{6}$

$a = \sqrt{6}$ のみ $1 \le a < 2$ を満たさない。($2<\sqrt{6}<3$なので)

(ii) $a \ge 2$ のとき、$m = f(2) = a^2 - a + 4$, $M = f(0) = a^2 + 3a$。

$M - m = (a^2 + 3a) - (a^2 - a + 4) = 4a - 4 = 6$

$4a = 10$

$a = \frac{5}{2} = 2.5$

これは $a \ge 2$ を満たす。

(iii) $0< a \leq 0$のとき、これは問題文の条件に反する。$a>0$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 3, $x = 1$

(2) $a = \frac{1}{2}$

(3) $a = \frac{5}{2}$