次の2つの条件を満たす放物線の方程式を求めます。 (1) 放物線 $y = -3x^2 + x - 1$ を平行移動した曲線で、頂点が点 $(-2, 3)$ である。 (2) 放物線 $y = x^2 - 3x$ を平行移動した曲線で、2点 $(1, 1), (2, 3)$ を通る。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の2つの条件を満たす放物線の方程式を求めます。

(1) 放物線 $y = -3x^2 + x - 1$ を平行移動した曲線で、頂点が点 $(-2, 3)$ である。

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x$ を平行移動した曲線で、2点 $(1, 1), (2, 3)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = -3x^2 + x - 1$ を平行移動した曲線なので、$y = -3(x - p)^2 + q$ と表すことができます。頂点が $(-2, 3)$ なので、$p = -2$, $q = 3$ となります。

したがって、求める放物線の方程式は

$y = -3(x + 2)^2 + 3$

展開して整理すると

$y = -3(x^2 + 4x + 4) + 3$

$y = -3x^2 - 12x - 12 + 3$

$y = -3x^2 - 12x - 9$

(2)

放物線 $y = x^2 - 3x$ を平行移動した曲線なので、$y = (x - p)^2 - 3(x - p) + q$ と表すことができます。あるいは、$y=x^2+ax+b$とおき、2点$(1,1)$, $(2,3)$を通ることから$x=1$, $y=1$と$x=2$, $y=3$を代入します。

$1 = 1 + a + b$

$3 = 4 + 2a + b$

整理すると

$a + b = 0$

$2a + b = -1$

2式を引き算すると

$a = -1$

$b = 1$

したがって、求める放物線の方程式は

$y = x^2 - x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x^2 - 12x - 9$

(2) $y = x^2 - x + 1$