2つの放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ と $y = x^2 - 2ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ と $y = x^2 - 2ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの放物線を平方完成し、頂点の座標を求める。

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ について、

$y = 2(x^2 - 2x) + 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 3$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 3$

$y = 2(x - 1)^2 + 1$

したがって、この放物線の頂点は $(1, 1)$ である。

次に、放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ について、

$y = (x^2 - 2ax) + b$

$y = (x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + b$

$y = (x - a)^2 - a^2 + b$

したがって、この放物線の頂点は $(a, -a^2 + b)$ である。

2つの放物線の頂点が一致するので、

$a = 1$

$-a^2 + b = 1$

$a = 1$ を $-a^2 + b = 1$ に代入すると、

$-1^2 + b = 1$

$-1 + b = 1$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 2$