与えられた行列 $A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ (ただし $0 \leq \theta \leq 2\pi$) について、以下の問いに答える。 (1) 行列 $A(\theta)$ の行列式を求め、$A(\theta)$ が正則であることを示せ。 (2) $A(\theta)$ の逆行列を求めよ。 (3) $A(\theta)$ の転置行列 $A^T$ が $A(\theta)$ の逆行列 $A^{-1}$ に等しいことを示せ。 (4) $A(\theta_1)A(\theta_2) = A(\theta_1 + \theta_2)$ を示せ。 (5) (4) の結果を用いて、$A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$ を示せ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ (ただし $0 \leq \theta \leq 2\pi$) について、以下の問いに答える。

(1) 行列 $A(\theta)$ の行列式を求め、$A(\theta)$ が正則であることを示せ。

(2) $A(\theta)$ の逆行列を求めよ。

(3) $A(\theta)$ の転置行列 $A^T$ が $A(\theta)$ の逆行列 $A^{-1}$ に等しいことを示せ。

(4) $A(\theta_1)A(\theta_2) = A(\theta_1 + \theta_2)$ を示せ。

(5) (4) の結果を用いて、$A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1) 行列式を求める：

行列 $A(\theta)$ の行列式は、

$\det(A(\theta)) = \cos\theta \cdot \cos\theta - (-\sin\theta) \cdot \sin\theta = \cos^2\theta + \sin^2\theta$

三角関数の恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ より、

$\det(A(\theta)) = 1$

行列式が 0 でないため、$A(\theta)$ は正則である。

(2) 逆行列を求める：

2x2行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられる。

$A(\theta)$ の逆行列 $A^{-1}(\theta)$ は

$A^{-1}(\theta) = \frac{1}{\cos^2\theta + \sin^2\theta} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(3) 転置行列と逆行列の関係を示す：

$A(\theta)$ の転置行列 $A^T$ は、

$A^T = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

これは、(2)で求めた $A^{-1}(\theta)$ と一致する。よって、$A^T = A^{-1}$ が示された。

(4) $A(\theta_1)A(\theta_2) = A(\theta_1 + \theta_2)$ を示す：

$A(\theta_1)A(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 & -\cos\theta_1\sin\theta_2 - \sin\theta_1\cos\theta_2 \\ \sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2 & -\sin\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_1\cos\theta_2 \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ および $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ を用いると、

$A(\theta_1)A(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos(\theta_1+\theta_2) & -\sin(\theta_1+\theta_2) \\ \sin(\theta_1+\theta_2) & \cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix} = A(\theta_1+\theta_2)$

(5) $A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$ を示す：

(4) の結果より、$A(\theta)A(\theta') = A(\theta + \theta')$ が成り立つ。

$A(\theta)^{-1}$ と $A(\theta)$ を掛け合わせると単位行列になるはずなので、

$A(\theta)A(\theta)^{-1} = I = A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

ここで、$\theta' = -\theta$ とおくと、

$A(\theta)A(-\theta) = A(\theta - \theta) = A(0) = I$

したがって、$A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$

3. 最終的な答え

(1) $\det(A(\theta)) = 1$ であり、$A(\theta)$ は正則である。

(2) $A^{-1}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(3) $A^T = A^{-1}$

(4) $A(\theta_1)A(\theta_2) = A(\theta_1 + \theta_2)$

(5) $A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$