与えられた命題は、正方行列の正則性とその逆行列、転置行列の関係について述べています。 (1) 行列Aが正則ならば、その逆行列A^-1も正則であり、(A^-1)^-1 = A であることを示しています。 (2) 行列Aが正則ならば、その転置行列'Aも正則であり、('A)^-1 = '(A^-1)であることを示しています。 (3) 行列AとBが正則ならば、それらの積ABも正則であり、(AB)^-1 = B^-1A^-1 であることを示しています。

1. 問題の内容

与えられた命題は、正方行列の正則性とその逆行列、転置行列の関係について述べています。

(1) 行列Aが正則ならば、その逆行列A^-1も正則であり、(A^-1)^-1 = A であることを示しています。

(2) 行列Aが正則ならば、その転置行列'Aも正則であり、('A)^-1 = '(A^-1)であることを示しています。

(3) 行列AとBが正則ならば、それらの積ABも正則であり、(AB)^-1 = B^-1A^-1 であることを示しています。

2. 解き方の手順

(1) Aが正則であるとき、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ (Iは単位行列)が成り立ちます。ここで、$A^{-1}$も正則であり、$A^{-1}$の逆行列が存在することを示す必要があります。$A^{-1}$の逆行列がAであることは、$A^{-1}A = AA^{-1} = I$ から明らかです。したがって、$(A^{-1})^{-1} = A$が成り立ちます。

(2) Aが正則であるとき、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ が成り立ちます。この両辺を転置すると、$(AA^{-1})' = (A^{-1}A)' = I' = I$ となります。転置の性質より、$(AA^{-1})' = (A^{-1})'A'$ および $(A^{-1}A)' = A'(A^{-1})'$ が成り立ちます。したがって、$(A^{-1})'A' = A'(A^{-1})' = I$ となります。この式は、$A'$ が正則であり、その逆行列が $(A^{-1})'$ であることを示しています。すなわち、$(A')^{-1} = (A^{-1})'$ が成り立ちます。

(3) AとBが正則であるとき、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ および $BB^{-1} = B^{-1}B = I$ が成り立ちます。行列の積ABの逆行列を考えます。$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$ と $(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = B^{-1}B = I$ が成り立ちます。したがって、$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) Aが正則ならば、A^-1も正則で(A^-1)^-1 = A.

(2) Aが正則ならば、「Aも正則で('A)^-1='(A^-1).

(3) A、Bが正則ならば、ABも正則で(AB)^-1=B^-1A^-

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