与えられた行列 $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、逆行列 $B^{-1} = \frac{a}{b} \begin{bmatrix} ア & イ & ウ \\ エ & オ & カ \\ キ & ク & ケ \end{bmatrix}$ を求め、$a, b$ および行列の各要素（ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク、ケ）を求める問題です。ただし、$a, b > 0$である必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列 $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、逆行列 $B^{-1} = \frac{a}{b} \begin{bmatrix} ア & イ & ウ \\ エ & オ & カ \\ キ & ク & ケ \end{bmatrix}$ を求め、$a, b$ および行列の各要素（ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク、ケ）を求める問題です。ただし、$a, b > 0$である必要があります。

2. 解き方の手順

まず、行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を計算します。逆行列は、

$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \mathrm{adj}(B)$

で与えられます。ここで、$\det(B)$ は行列 $B$ の行列式、$\mathrm{adj}(B)$ は行列 $B$ の余因子行列です。

(1) 行列式 $\det(B)$ を計算します。

$\det(B) = 2(2 \cdot 1 - 4 \cdot 1) - 1(3 \cdot 1 - 4 \cdot 2) + 3(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = 2(2 - 4) - (3 - 8) + 3(3 - 4) = 2(-2) - (-5) + 3(-1) = -4 + 5 - 3 = -2$

したがって、$b = |\det(B)| = |-2| = 2$ となります。また、$a = 1$ と置きます。

(2) 余因子行列 $\mathrm{adj}(B)$ を計算します。

$C_{11} = (2 \cdot 1 - 4 \cdot 1) = 2 - 4 = -2$

$C_{12} = -(3 \cdot 1 - 4 \cdot 2) = -(3 - 8) = 5$

$C_{13} = (3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = 3 - 4 = -1$

$C_{21} = -(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -(1 - 3) = 2$

$C_{22} = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = 2 - 6 = -4$

$C_{23} = -(2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = -(2 - 2) = 0$

$C_{31} = (1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) = 4 - 6 = -2$

$C_{32} = -(2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) = -(8 - 9) = 1$

$C_{33} = (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = 4 - 3 = 1$

$\mathrm{adj}(B) = \begin{bmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(3) 逆行列を計算します。

$B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -5 & 4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

したがって、$a = 1, b = 2$ であり、求める各要素は、

ア = 2

イ = -2

ウ = 2

エ = -5

オ = 4

カ = -1

キ = 1

ク = 0

ケ = -1

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 2$

ア = 2

イ = -2

ウ = 2

エ = -5

オ = 4

カ = -1

キ = 1

ク = 0

ケ = -1