問題3: 与えられた複素数 $\alpha$ の共役複素数 $\overline{\alpha}$ を求め、それぞれの $\overline{\alpha}$ に対応する点を複素数平面上に図示する。 問題4: 与えられた複素数の式を計算する。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題3: 与えられた複素数 $\alpha$ の共役複素数 $\overline{\alpha}$ を求め、それぞれの $\overline{\alpha}$ に対応する点を複素数平面上に図示する。

問題4: 与えられた複素数の式を計算する。

2. 解き方の手順

問題3: 複素数 $\alpha = a + bi$ の共役複素数 $\overline{\alpha}$ は $\overline{\alpha} = a - bi$ で与えられます。つまり、虚部の符号を反転させます。複素数平面上に点を示す際は、実部をx座標、虚部をy座標として点をプロットします。

1. $\alpha = 3 + 4i$ の共役複素数は $\overline{\alpha} = 3 - 4i$

2. $\alpha = -3 - 2i$ の共役複素数は $\overline{\alpha} = -3 + 2i$

3. $\alpha = -2i$ の共役複素数は $\overline{\alpha} = 2i$

4. $\alpha = 3$ の共役複素数は $\overline{\alpha} = 3$

問題4: 各式を計算します。

1. $(1+2i)(1+2i) = (1+2i)(1-2i) = 1 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5$

2. $(5+6i)(2+3i) = 5(2) + 5(3i) + 6i(2) + 6i(3i) = 10 + 15i + 12i - 18 = -8 + 27i$

3. $|5+i| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$

4. $|-6+3i| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

5. $|(4-3i)(6+2i)| = |4-3i| \cdot |6+2i| = \sqrt{4^2+(-3)^2}\cdot \sqrt{6^2+2^2} = \sqrt{16+9}\cdot \sqrt{36+4} = \sqrt{25}\cdot \sqrt{40} = 5\cdot 2\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$

6. $\frac{2-3i}{3+4i} = \frac{(2-3i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{6 - 8i - 9i + 12i^2}{9 - 16i^2} = \frac{6 - 17i - 12}{9 + 16} = \frac{-6 - 17i}{25} = -\frac{6}{25} - \frac{17}{25}i$

3. 最終的な答え

問題3:

1. $\overline{\alpha} = 3 - 4i$

2. $\overline{\alpha} = -3 + 2i$

3. $\overline{\alpha} = 2i$

4. $\overline{\alpha} = 3$

問題4:

1. $5$

2. $-8 + 27i$

3. $\sqrt{26}$

4. $3\sqrt{5}$

5. $10\sqrt{10}$

6. $-\frac{6}{25} - \frac{17}{25}i$