与えられた行列 $D = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $D^{-1}$ が $D^{-1} = \frac{a}{b} \begin{bmatrix} ア & イ & ウ \\ エ & オ & カ \\ キ & ク & ケ \end{bmatrix}$ の形で与えられているとき、$a, b$ の値と、ア、イ、ウ、エ、オの値を求める問題です。ただし、$a, b > 0$ であることが条件です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $D = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $D^{-1}$ が $D^{-1} = \frac{a}{b} \begin{bmatrix} ア & イ & ウ \\ エ & オ & カ \\ キ & ク & ケ \end{bmatrix}$ の形で与えられているとき、$a, b$ の値と、ア、イ、ウ、エ、オの値を求める問題です。ただし、$a, b > 0$ であることが条件です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $D$ の逆行列を求めます。そのためには、$D$ の行列式 $|D|$ と余因子行列が必要です。

$|D| = 3(1\cdot1 - (-2)\cdot(-1)) - (-1)(4\cdot1 - (-2)\cdot1) + 2(4\cdot(-1) - 1\cdot1) = 3(1-2) + 1(4+2) + 2(-4-1) = 3(-1) + 6 + 2(-5) = -3 + 6 - 10 = -7$

次に、余因子行列を求めます。

$C_{11} = 1\cdot1 - (-2)\cdot(-1) = 1 - 2 = -1$

$C_{12} = -(4\cdot1 - (-2)\cdot1) = -(4 + 2) = -6$

$C_{13} = 4\cdot(-1) - 1\cdot1 = -4 - 1 = -5$

$C_{21} = -(-1\cdot1 - 2\cdot(-1)) = -( -1 + 2) = -1$

$C_{22} = 3\cdot1 - 2\cdot1 = 3 - 2 = 1$

$C_{23} = -(3\cdot(-1) - (-1)\cdot1) = -(-3 + 1) = -(-2) = 2$

$C_{31} = -1\cdot(-2) - 2\cdot1 = 2 - 2 = 0$

$C_{32} = -(3\cdot(-2) - 2\cdot4) = -(-6 - 8) = -(-14) = 14$

$C_{33} = 3\cdot1 - (-1)\cdot4 = 3 + 4 = 7$

余因子行列は

$\begin{bmatrix} -1 & -6 & -5 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 14 & 7 \end{bmatrix}$

なので、逆行列は

$D^{-1} = \frac{1}{|D|} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -6 & 1 & 14 \\ -5 & 2 & 7 \end{bmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -6 & 1 & 14 \\ -5 & 2 & 7 \end{bmatrix} = \frac{-1}{7} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -6 & 1 & 14 \\ -5 & 2 & 7 \end{bmatrix} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 6 & -1 & -14 \\ 5 & -2 & -7 \end{bmatrix}$

したがって、$a = 1$, $b = 7$ となり、

ア $= 1$, イ $= 1$, ウ $= 0$, エ $= 6$, オ $= -1$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 7$

ア $= 1$

イ $= 1$

ウ $= 0$

エ $= 6$

オ $= -1$