与えられた3次方程式 $3x^3 + 2x^2 - 12x - 8 = 0$ の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $3x^3 + 2x^2 - 12x - 8 = 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

この3次方程式を解くために、因数定理と組立除法を利用します。

まず、定数項 $-8$ の約数から、方程式の解の候補を探します。

約数は $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$ です。

$x = 2$ を代入してみると、

$3(2)^3 + 2(2)^2 - 12(2) - 8 = 3(8) + 2(4) - 24 - 8 = 24 + 8 - 24 - 8 = 0$

となるため、$x=2$ は解の一つです。

したがって、$x-2$ は与えられた多項式の因数です。

次に、組立除法を用いて、$3x^3 + 2x^2 - 12x - 8$ を $x-2$ で割ります。

```

2 | 3 2 -12 -8

| 6 16 8

------------------

3 8 4 0

```

これにより、$3x^3 + 2x^2 - 12x - 8 = (x - 2)(3x^2 + 8x + 4)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $3x^2 + 8x + 4 = 0$ を解きます。

因数分解すると、$(3x + 2)(x + 2) = 0$ となります。

したがって、$3x + 2 = 0$ または $x + 2 = 0$ となります。

$3x + 2 = 0$ から $x = -\frac{2}{3}$ を得ます。

$x + 2 = 0$ から $x = -2$ を得ます。

3. 最終的な答え

したがって、与えられた3次方程式の解は、$x = 2, x = -2, x = -\frac{2}{3}$ です。