与えられた各関数について、その導関数を求める。

## 問題の解答

以下に、問題2.1の関数について、それぞれの導関数を求めます。

1. **問題の内容**

与えられた各関数について、その導関数を求める。

2. **解き方の手順**

(1) $y = (x^2 + 1)^5 (x^3 - 2)^3$

積の微分法を用いる。

$y' = 5(x^2 + 1)^4 (2x) (x^3 - 2)^3 + (x^2 + 1)^5 (3(x^3 - 2)^2 (3x^2))$

$y' = 10x(x^2 + 1)^4 (x^3 - 2)^3 + 9x^2(x^2 + 1)^5 (x^3 - 2)^2$

$y' = x(x^2 + 1)^4 (x^3 - 2)^2 [10(x^3 - 2) + 9x(x^2 + 1)]$

$y' = x(x^2 + 1)^4 (x^3 - 2)^2 [10x^3 - 20 + 9x^3 + 9x]$

$y' = x(x^2 + 1)^4 (x^3 - 2)^2 (19x^3 + 9x - 20)$

(2) $y = \log(\log x)$

合成関数の微分法を用いる。

$y' = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$

$y' = \frac{1}{x \log x}$

(3) $y = 2^x$

指数関数の微分を用いる。

$y' = 2^x \log 2$

(4) $y = x^3 (x^2 + 1)^{3/2}$

積の微分法を用いる。

$y' = 3x^2 (x^2 + 1)^{3/2} + x^3 \cdot \frac{3}{2} (x^2 + 1)^{1/2} (2x)$

$y' = 3x^2 (x^2 + 1)^{3/2} + 3x^4 (x^2 + 1)^{1/2}$

$y' = 3x^2 (x^2 + 1)^{1/2} (x^2 + 1 + x^2)$

$y' = 3x^2 (x^2 + 1)^{1/2} (2x^2 + 1)$

(5) $y = e^{x^x}$

合成関数と積の微分法を用いる。まず、$u=x^x$について、$\log u = x \log x$。これを$x$で微分すると、$\frac{u'}{u} = \log x + 1$となり、$u' = x^x (\log x + 1)$。

したがって、$y' = e^{x^x} \cdot x^x (\log x + 1)$

$y' = x^x e^{x^x} (\log x + 1)$

(6) $y = (\sin x)^{\cos x}$

両辺の対数をとる。

$\log y = \cos x \log (\sin x)$

両辺を$x$で微分する。

$\frac{y'}{y} = -\sin x \log (\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

$\frac{y'}{y} = -\sin x \log (\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}$

$y' = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \log (\sin x) \right)$

(7) $y = \tan^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$

$x = \tan \theta$とおくと、$\frac{1 - x^2}{1 + x^2} = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta$となる。

$y = \tan^{-1} (\cos 2 \theta) = \tan^{-1} ( \frac{1 - \tan^2 (\pi/4 - \theta)}{1 + \tan^2 (\pi/4 - \theta)} ) = \frac{\pi}{4} - \theta$

$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right) = \frac{\pi}{2} - 2\tan^{-1} x$

$y' = -\frac{2}{1 + x^2}$

(8) $y = \sqrt{1 + 2 \log x}$

合成関数の微分を用いる。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + 2 \log x}} \cdot \frac{2}{x}$

$y' = \frac{1}{x \sqrt{1 + 2 \log x}}$

(9) $y = \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \right)$

$x = \tan \theta$とおくと、$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \sin \theta$となる。

$y = \sin^{-1} (\sin \theta) = \theta = \tan^{-1} x$

したがって、$y' = \frac{1}{1 + x^2}$

(10) $y = 2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{2}}$

$u = \sqrt{\frac{x+1}{2}}$ とおくと、$y=2\cos^{-1} u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = 2 \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x+1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-x}{2}} \sqrt{\frac{x+1}{2}}} = - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(11) $y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$

$\log y = \frac{1}{2} [\log(x-1) + \log(x-2) - \log(x-3) - \log(x-4)]$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} [\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}]$

$y' = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} [\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}]$

$y' = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} [ \frac{(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)-(x-1)(x-2)(x-4)-(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)} ]$

(12) $y = x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}$

$y' = \sqrt{a^2-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}} + a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a}$

$y' = \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}$

$y' = \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$y' = \frac{a^2 - x^2 - x^2 + a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$y' = 2\sqrt{a^2 - x^2}$

3. **最終的な答え**

(1) $y' = x(x^2 + 1)^4 (x^3 - 2)^2 (19x^3 + 9x - 20)$

(2) $y' = \frac{1}{x \log x}$

(3) $y' = 2^x \log 2$

(4) $y' = 3x^2 (x^2 + 1)^{1/2} (2x^2 + 1)$

(5) $y' = x^x e^{x^x} (\log x + 1)$

(6) $y' = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \log (\sin x) \right)$

(7) $y' = -\frac{2}{1 + x^2}$

(8) $y' = \frac{1}{x \sqrt{1 + 2 \log x}}$

(9) $y' = \frac{1}{1 + x^2}$

(10) $y'= - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(11) $y' = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} [ \frac{(x-2)(x-3)(x-4)+(x-1)(x-3)(x-4)-(x-1)(x-2)(x-4)-(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)} ]$

(12) $y' = 2\sqrt{a^2 - x^2}$