与えられた数式を展開、因数分解、値を求め、不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式を展開、因数分解、値を求め、不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

[1] 式の展開

(1) $(x-3y+2)(x-3y-2)$

$x-3y=A$ と置くと、

$(A+2)(A-2) = A^2 - 4$

$A^2 - 4 = (x-3y)^2 - 4 = x^2 - 6xy + 9y^2 - 4$

よって、

$x^2 - 6xy + 9y^2 - 4$

(2) $(x+1)(x^2+2x+1)$

$(x+1)(x+1)^2 = (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

よって、

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

[2] 式の因数分解

(1) $6x^2-11x-10$

$(2x-5)(3x+2)$

よって、

$(2x-5)(3x+2)$

(2) $x^2-xy-6y^2-4x+7y+3$

$x^2 - (y+4)x - (6y^2 - 7y - 3)$

$x^2 - (y+4)x - (2y-3)(3y+1)$

$(x-(3y+1))(x+(2y-3))$

$(x-3y-1)(x+2y-3)$

よって、

$(x-3y-1)(x+2y-3)$

[3] 値を求める

$x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = -2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

$y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = -2\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

$x+y = -4\sqrt{2}$

$xy = \frac{4}{2-3} = -4$

[4] 不等式を解く

$0.4 < 0.1x+1 < \frac{x}{2}+\frac{7}{5}$

$0.4 < 0.1x+1$ より $0.1x > -0.6$ だから、$x > -6$

$0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ より $0.1x + 1 < 0.5x + 1.4$ だから、 $0.4x > -0.4$ よって $x > -1$

以上より $x > -1$

3. 最終的な答え

[1] (1) ア:6, イ:9, ウ:4

(2) エ:3, オ:3, カ:1

[2] (1) キ:2, ク:5, ケ:3, コ:2

(2) サ:-3, シ:-1, ス:2, セ:-3

[3] ソタ:-4, チ:2, ツテ:-4

[4] トナ:-1