(1) $\sum_{k=1}^n 12k^2$ を求めよ。 (2) $\sum_{k=1}^n 2k(3k-2)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^n 12k^2$ を求めよ。

(2) $\sum_{k=1}^n 2k(3k-2)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^n 12k^2 = 12 \sum_{k=1}^n k^2$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より、

$\sum_{k=1}^n 12k^2 = 12 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 2n(n+1)(2n+1)$

(2)

$\sum_{k=1}^n 2k(3k-2) = \sum_{k=1}^n (6k^2 - 4k) = 6\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ より、

$\sum_{k=1}^n 2k(3k-2) = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1)$

$= n(n+1)(2n+1-2) = n(n+1)(2n-1)$

3. 最終的な答え

(1) $2n(n+1)(2n+1)$

(2) $n(n+1)(2n-1)$