与えられた分数式を計算し、既約分数式に直す問題です。具体的には、次の4つの問題を解きます。 (1) $\frac{6xy^6}{3x^2y^3} \cdot \frac{x^2y^2}{10x^3y}$ (2) $\frac{8ab^7}{14a^3b} \div \frac{6a^6b^3}{7a^5b^2}$ (3) $\frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2} \cdot \frac{2x^2-3x-2}{x^2-1}$ (4) $\frac{3t^2+7t+2}{t^3+8} \div \frac{9t^2-1}{t^3-2t^2+4t}$

はい、承知いたしました。それでは、画像に写っている数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた分数式を計算し、既約分数式に直す問題です。具体的には、次の4つの問題を解きます。

(1) $\frac{6xy^6}{3x^2y^3} \cdot \frac{x^2y^2}{10x^3y}$

(2) $\frac{8ab^7}{14a^3b} \div \frac{6a^6b^3}{7a^5b^2}$

(3) $\frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2} \cdot \frac{2x^2-3x-2}{x^2-1}$

(4) $\frac{3t^2+7t+2}{t^3+8} \div \frac{9t^2-1}{t^3-2t^2+4t}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{6xy^6}{3x^2y^3} \cdot \frac{x^2y^2}{10x^3y}$

まず、各分数を約分します。

$\frac{6xy^6}{3x^2y^3} = \frac{2y^3}{x}$

$\frac{x^2y^2}{10x^3y} = \frac{y}{10x}$

次に、かけ算を行います。

$\frac{2y^3}{x} \cdot \frac{y}{10x} = \frac{2y^4}{10x^2} = \frac{y^4}{5x^2}$

(2) $\frac{8ab^7}{14a^3b} \div \frac{6a^6b^3}{7a^5b^2}$

まず、割り算をかけ算に変換します。

$\frac{8ab^7}{14a^3b} \div \frac{6a^6b^3}{7a^5b^2} = \frac{8ab^7}{14a^3b} \cdot \frac{7a^5b^2}{6a^6b^3}$

次に、かけ算を行います。

$\frac{8ab^7}{14a^3b} \cdot \frac{7a^5b^2}{6a^6b^3} = \frac{56a^6b^9}{84a^9b^4} = \frac{2b^5}{3a^3}$

(3) $\frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2} \cdot \frac{2x^2-3x-2}{x^2-1}$

各多項式を因数分解します。

$x^2-2x+1 = (x-1)^2$

$x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$

$2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2)$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

次に、分数式に代入します。

$\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{(2x+1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)(2x+1)}{(x-1)(x+1)}$

約分します。

$\frac{(x-1)(2x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x+1}{x+1}$

(4) $\frac{3t^2+7t+2}{t^3+8} \div \frac{9t^2-1}{t^3-2t^2+4t}$

まず、割り算をかけ算に変換します。

$\frac{3t^2+7t+2}{t^3+8} \div \frac{9t^2-1}{t^3-2t^2+4t} = \frac{3t^2+7t+2}{t^3+8} \cdot \frac{t^3-2t^2+4t}{9t^2-1}$

各多項式を因数分解します。

$3t^2+7t+2 = (3t+1)(t+2)$

$t^3+8 = (t+2)(t^2-2t+4)$

$t^3-2t^2+4t = t(t^2-2t+4)$

$9t^2-1 = (3t+1)(3t-1)$

次に、分数式に代入します。

$\frac{(3t+1)(t+2)}{(t+2)(t^2-2t+4)} \cdot \frac{t(t^2-2t+4)}{(3t+1)(3t-1)} = \frac{(3t+1)(t+2)t(t^2-2t+4)}{(t+2)(t^2-2t+4)(3t+1)(3t-1)}$

約分します。

$\frac{(3t+1)(t+2)t(t^2-2t+4)}{(t+2)(t^2-2t+4)(3t+1)(3t-1)} = \frac{t}{3t-1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{y^4}{5x^2}$

(2) $\frac{2b^5}{3a^3}$

(3) $\frac{2x+1}{x+1}$

(4) $\frac{t}{3t-1}$