(1) 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ と $x$軸, $y$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。 (2) 放物線 $C: y = 2x^2 - 3x$ の接線のうち、傾きが5である接線を $l$ とする。放物線 $C$ と接線 $l$ の接点の $x$ 座標、接線 $l$ の方程式、および放物線 $C$ と接線 $l$, $y$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ と $x$軸, $y$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

(2) 放物線 $C: y = 2x^2 - 3x$ の接線のうち、傾きが5である接線を $l$ とする。放物線 $C$ と接線 $l$ の接点の $x$ 座標、接線 $l$ の方程式、および放物線 $C$ と接線 $l$, $y$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ と $x$ 軸との交点を求める。

$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 = 0$ を解くと

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

よって、放物線は $x$ 軸と $x = 2$ で接する。

$y$ 軸との交点は、$x = 0$ のとき $y = 2$ である。

$x$ 軸, $y$ 軸と放物線で囲まれた面積 $S$ は、$\int_0^2 (\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2) dx$ で与えられる。

$S = \int_0^2 (\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2) dx = [\frac{1}{6}x^3 - x^2 + 2x]_0^2 = \frac{1}{6}(2^3) - 2^2 + 2(2) - 0 = \frac{8}{6} - 4 + 4 = \frac{4}{3}$

(2)

$y = 2x^2 - 3x$ の微分は $y' = 4x - 3$ である。

傾きが5である接線を求めるには、$4x - 3 = 5$ を解く。

$4x = 8$

$x = 2$

よって、接点の $x$ 座標は2である。

$x = 2$ のとき、$y = 2(2^2) - 3(2) = 8 - 6 = 2$

接点の座標は $(2, 2)$ である。

接線 $l$ の方程式は、$y - 2 = 5(x - 2)$ より、$y = 5x - 10 + 2 = 5x - 8$

放物線 $C: y = 2x^2 - 3x$ と接線 $l: y = 5x - 8$ の交点の $x$ 座標は $x = 2$ のみである。

放物線 $C$ と接線 $l$ と $y$ 軸で囲まれた面積は、$\int_0^2 (5x - 8 - (2x^2 - 3x)) dx$ で与えられる。

$\int_0^2 (5x - 8 - (2x^2 - 3x)) dx = \int_0^2 (-2x^2 + 8x - 8) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 8x]_0^2 = -\frac{2}{3}(2^3) + 4(2^2) - 8(2) - 0 = -\frac{16}{3} + 16 - 16 = -\frac{16}{3}$

面積なので絶対値を取る。 $S = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{4}{3}$

(2) 接点の $x$ 座標: 2

接線 $l$ の方程式: $y = 5x - 8$

面積 $S = \frac{16}{3}$