与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の4つの数列の和を求めます。 (ア) $\sum_{k=3}^{n} \left( {}_{k+1}C_3 - {}_kC_3 \right)$ （ただし、$n \ge 3$） (イ) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ (ウ) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ (エ) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ さらに、 (オ) $k(k+1) = -\frac{1}{3} k(k+1)((k-1) - (k+2))$を利用して$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を求める問題も含まれます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の4つの数列の和を求めます。

(ア) $\sum_{k=3}^{n} \left( {}_{k+1}C_3 - {}_kC_3 \right)$ （ただし、$n \ge 3$）

(イ) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$

(ウ) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

(エ) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$

さらに、

(オ) $k(k+1) = -\frac{1}{3} k(k+1)((k-1) - (k+2))$を利用して$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を求める問題も含まれます。

2. 解き方の手順

(ア)

${}_{k+1}C_3 - {}_kC_3$ は、パスカルの法則 ${}_{n+1}C_r = {}_nC_r + {}_nC_{r-1}$ より、

${}_{k+1}C_3 - {}_kC_3 = {}_kC_2$

よって、求める和は

$\sum_{k=3}^n {}_kC_2 = \sum_{k=3}^n \frac{k(k-1)}{2} = \sum_{k=3}^n \frac{k^2 - k}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=3}^n k^2 - \sum_{k=3}^n k \right)$

ここで、$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$を用いると、

$\sum_{k=3}^n k = \sum_{k=1}^n k - 1 - 2 = \frac{n(n+1)}{2} - 3$

$\sum_{k=3}^n k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 - 1^2 - 2^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5$

したがって、

$\sum_{k=3}^n {}_kC_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 - \frac{n(n+1)}{2} + 3 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{3n(n+1)}{6} - 2 \right)$

$= \frac{1}{12} \left( n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) - 12 \right) = \frac{1}{12} \left( n(n+1)(2n - 2) - 12 \right)$

$= \frac{1}{6} \left( n(n+1)(n-1) - 6 \right) = \frac{n(n^2-1)-6}{6}=\frac{n^3-n-6}{6}$

また、${}_{n+1}C_4 - {}_2C_4 = {}_{n+1}C_4$ (なぜなら${}_2C_4=0$)

${}_{n+1}C_4 - {}_2C_4 = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4!} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}$

${}_{n+1}C_4 = \frac{n^4-2n^3+n^2-2n^3+4n^2-2n+n^2-2n+n-2}{24} = \frac{n^4 - 4n^3 + 6n^2 - 4n + n - 2}{24}$

$\sum_{k=3}^n {}_kC_2 = \sum_{k=3}^n \frac{k(k-1)}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=3}^n (k^2 - k) = \frac{1}{2}\left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 - \frac{n(n+1)}{2} +3 \right)$

$= \frac{1}{2}\left( \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} - 2 \right) = \frac{1}{12}(n(n+1)(2n+1-3) - 12) = \frac{1}{12}(2n^3 - 2n - 12) = \frac{n^3 - n - 6}{6}$

ここで、${}_{n+1}C_4 = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}$.

(イ)

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ なので、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

(ウ)

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$ なので、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{(n+1)(n+2) - 2}{2(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(エ)

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \right)$ なので、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{(n+1)(n+2)(n+3) - 6}{6(n+1)(n+2)(n+3)} \right) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3) - 6}{18(n+1)(n+2)(n+3)}$

$= \frac{n^3 + 6n^2 + 11n + 6 - 6}{18(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{18(n+1)(n+2)(n+3)}$

(オ)

与えられた式 $k(k+1) = -\frac{1}{3}k(k+1)((k-1) - (k+2))$ を利用して、$\sum_{k=1}^n k(k+1)$ を求める。

$k(k+1) = -\frac{1}{3} k(k+1)(k-1) + \frac{1}{3} k(k+1)(k+2)$

$\sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n \left( -\frac{1}{3} k(k+1)(k-1) + \frac{1}{3} k(k+1)(k+2) \right) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left( k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1) \right)$

$= \frac{1}{3} \left( n(n+1)(n+2) - (1-1)(1)(1+1) \right) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{n^3 - n - 6}{6}$

(イ) $\frac{n}{n+1}$

(ウ) $\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(エ) $\frac{n(n^2 + 6n + 11)}{18(n+1)(n+2)(n+3)}$

(オ) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$