$\sqrt{5}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $\frac{a}{b}$ の整数の部分を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $\frac{a}{b}$ の整数の部分を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

まず、$\sqrt{5}$ のおおよその値を考えます。$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ であることから、$2 < \sqrt{5} < 3$ であることがわかります。したがって、$\sqrt{5}$ の整数の部分は $a = 2$ です。

$\sqrt{5}$ の小数部分 $b$ は、$\sqrt{5}$ から整数の部分 $a$ を引いたものなので、

$b = \sqrt{5} - a = \sqrt{5} - 2$

となります。

(2) $\frac{a}{b}$ の整数の部分を求める。

$a = 2$ および $b = \sqrt{5} - 2$ であるから、

$\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt{5} - 2}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5} + 2$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{5 - 4} = 2(\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5} + 4$

ここで、$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、

$2\sqrt{5} + 4 \approx 2 \times 2.236 + 4 = 4.472 + 4 = 8.472$

したがって、$\frac{a}{b}$ の整数の部分は $8$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = \sqrt{5} - 2$

(2) $\frac{a}{b}$ の整数の部分は $8$