曲線 $y = \frac{1}{x} \ (x>0)$ を $C$ とする。点 $(t, \frac{1}{t})$ における接線の方程式を $y = ax + b$ とする。 (1) $a, b$ を $t$ の式で表せ。 (2) $I = \int_{1}^{2} (ax+b)dx$ とおくとき、$I$ の最大値を求めよ。 (3) $\log_e 2 > \frac{2}{3}$ を示せ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x} \ (x>0)$ を $C$ とする。点 $(t, \frac{1}{t})$ における接線の方程式を $y = ax + b$ とする。

(1) $a, b$ を $t$ の式で表せ。

(2) $I = \int_{1}^{2} (ax+b)dx$ とおくとき、$I$ の最大値を求めよ。

(3) $\log_e 2 > \frac{2}{3}$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = \frac{1}{x}$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

点 $(t, \frac{1}{t})$ における接線の傾きは $x = t$ のときの微分係数なので、

$a = -\frac{1}{t^2}$

接線の方程式は、$y - \frac{1}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - t)$ と表せます。これを整理すると、

$y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{1}{t} + \frac{1}{t}$

$y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t}$

したがって、$b = \frac{2}{t}$ となります。

(2)

$I = \int_{1}^{2} (ax+b)dx = \int_{1}^{2} (-\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t})dx$

$I = [-\frac{1}{2t^2}x^2 + \frac{2}{t}x]_1^2$

$I = (-\frac{1}{2t^2}(2^2) + \frac{2}{t}(2)) - (-\frac{1}{2t^2}(1^2) + \frac{2}{t}(1))$

$I = -\frac{2}{t^2} + \frac{4}{t} + \frac{1}{2t^2} - \frac{2}{t}$

$I = -\frac{3}{2t^2} + \frac{2}{t}$

$I$ を $t$ の関数と見て、$I$ の最大値を求めます。

$I = -\frac{3}{2}t^{-2} + 2t^{-1}$

$\frac{dI}{dt} = -\frac{3}{2}(-2)t^{-3} + 2(-1)t^{-2} = 3t^{-3} - 2t^{-2} = \frac{3}{t^3} - \frac{2}{t^2} = \frac{3-2t}{t^3}$

$\frac{dI}{dt} = 0$ となるのは、$3-2t = 0$ より $t = \frac{3}{2}$ のときです。

$t = \frac{3}{2}$ のとき、$I = -\frac{3}{2}(\frac{2}{3})^2 + 2(\frac{2}{3}) = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

$t \rightarrow \infty$ のとき、$I \rightarrow 0$

$t \rightarrow 0$ のとき、$I \rightarrow -\infty$

したがって、$I$ の最大値は $\frac{2}{3}$ です。

(3)

$I = \int_{1}^{2} (ax+b)dx = \int_{1}^{2} f(x)dx$

この問題では、$f(x)$ は $x=1$ から $x=2$ までの区間で上に凸な関数であるため、台形公式を使って近似すると、

$I \approx \frac{1}{2}(f(1)+f(2))$

$a = -\frac{1}{t^2}$, $b = \frac{2}{t}$

$f(x) = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t}$

$f(1) = -\frac{1}{t^2} + \frac{2}{t}$

$f(2) = -\frac{2}{t^2} + \frac{2}{t}$

$I \approx \frac{1}{2}(-\frac{1}{t^2} + \frac{2}{t} -\frac{2}{t^2} + \frac{2}{t}) = \frac{1}{2}(-\frac{3}{t^2} + \frac{4}{t})$

この問題では、曲線 $y = \frac{1}{x}$ と $y = ax + b$ の交点を求め、その交点の $x$ 座標を積分区間の端点とする面積を求めることになる。

$I = \int_1^2 \frac{1}{x} dx = [\log_e x]_1^2 = \log_e 2 - \log_e 1 = \log_e 2$

(2) で $I$ の最大値が $\frac{2}{3}$ であることを求めたため、

$\log_e 2 > \frac{2}{3}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{t^2}, \ b = \frac{2}{t}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $\log_e 2 > \frac{2}{3}$