3つの関数 $y = ax^2$ (①), $y = 4$ (②), $y = 1$ (③) のグラフが与えられている。①と②の交点のx座標の小さい方をA、大きい方をBとし、①と③の交点のうちx座標が負の点をCとする。 (1) AB=8のとき、点Bの座標と$a$の値を求めよ。また、点Cの座標と、直線BCの式を求めよ。 (2) (1)のとき、傾きが正の原点を通る直線④が、②、③、線分BCとそれぞれP, Q, Rで交わる。BP:CQ=1:2のとき、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

3つの関数 $y = ax^2$ (①), $y = 4$ (②), $y = 1$ (③) のグラフが与えられている。①と②の交点のx座標の小さい方をA、大きい方をBとし、①と③の交点のうちx座標が負の点をCとする。

(1) AB=8のとき、点Bの座標と$a$の値を求めよ。また、点Cの座標と、直線BCの式を求めよ。

(2) (1)のとき、傾きが正の原点を通る直線④が、②、③、線分BCとそれぞれP, Q, Rで交わる。BP:CQ=1:2のとき、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* 点A, Bは$y=ax^2$と$y=4$の交点なので、$ax^2 = 4$を解く。

$x^2 = \frac{4}{a}$ より、$x = \pm \frac{2}{\sqrt{a}}$。

よって、Aのx座標は $-\frac{2}{\sqrt{a}}$, Bのx座標は $\frac{2}{\sqrt{a}}$。

$AB = \frac{2}{\sqrt{a}} - (-\frac{2}{\sqrt{a}}) = \frac{4}{\sqrt{a}} = 8$

$\sqrt{a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$a = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Bの座標は $x = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$ より、B(4,4)。

* $a = \frac{1}{4}$ なので、$y = \frac{1}{4}x^2$。

点Cは$y = \frac{1}{4}x^2$と$y = 1$の交点のx座標が負の点。

$\frac{1}{4}x^2 = 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$。x座標が負なので、C(-2, 1)。

* B(4, 4), C(-2, 1)を通る直線の式を$y = mx + n$とおく。

$4 = 4m + n$

$1 = -2m + n$

上の式から下の式を引くと

$3 = 6m$

$m = \frac{1}{2}$

$n = 1 + 2m = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

よって、直線BCの式は $y = \frac{1}{2}x + 2$。

(2)

* B(4,4), C(-2,1), Pは$y=4$上の点、Qは$y=1$上の点。

BP:CQ=1:2。

Pのx座標をp, Qのx座標をqとするとP(p, 4), Q(q, 1)。

$BP = |p - 4|$, $CQ = |q - (-2)| = |q + 2|$

$|p - 4| : |q + 2| = 1:2$

$2|p - 4| = |q + 2|$

* 直線④は原点を通るので、$y = kx$ (k>0)。

Pは直線④と$y = 4$の交点なので、$4 = kp$。$p = \frac{4}{k}$。

Qは直線④と$y = 1$の交点なので、$1 = kq$。$q = \frac{1}{k}$。

$2|\frac{4}{k} - 4| = |\frac{1}{k} + 2|$

$2|\frac{4 - 4k}{k}| = |\frac{1 + 2k}{k}|$

$2|4 - 4k| = |1 + 2k|$

$8 - 8k = 1 + 2k$ または $8 - 8k = -1 - 2k$

$7 = 10k$ または $9 = 6k$

$k = \frac{7}{10}$ または $k = \frac{3}{2}$

$k = \frac{7}{10}$の場合、$BC: y=\frac{1}{2}x+2$と$y=\frac{7}{10}x$の交点がR

$\frac{1}{2}x+2=\frac{7}{10}x$

$5x+20=7x$

$2x=20$

$x=10$, $y=\frac{7}{10} \times 10 = 7$

R(10,7)

$BP = |\frac{4}{k} - 4| = |\frac{4}{\frac{7}{10}} - 4| = |\frac{40}{7} - \frac{28}{7}| = \frac{12}{7}$

高さはPとRのy座標の差 = 7-4=3

$\frac{1}{2} \times \frac{12}{7} \times 3 = \frac{18}{7}$

$k = \frac{3}{2}$の場合、$BC: y=\frac{1}{2}x+2$と$y=\frac{3}{2}x$の交点がR

$\frac{1}{2}x+2=\frac{3}{2}x$

$x+4=3x$

$2x=4$

$x=2$, $y=\frac{3}{2} \times 2 = 3$

R(2,3)

$BP = |\frac{4}{k} - 4| = |\frac{4}{\frac{3}{2}} - 4| = |\frac{8}{3} - \frac{12}{3}| = \frac{4}{3}$

高さはPとRのy座標の差 = 4-3=1

$\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

点Bの座標: (4, 4)

$a$の値: $\frac{1}{4}$

点Cの座標: (-2, 1)

直線BCの式: $y = \frac{1}{2}x + 2$

(2)

点Rの座標: (2, 3)

三角形BPRの面積: $\frac{2}{3}$