$\sum_{k=1}^{800} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ を計算する。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{800} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ を計算する。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、部分分数分解を利用する。

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ を部分分数に分解すると、次のようになる。

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} + \frac{D}{k+3}$

ここで、両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ をかけると、

$1 = A(k+1)(k+2)(k+3) + Bk(k+2)(k+3) + Ck(k+1)(k+3) + Dk(k+1)(k+2)$

$k = 0$ を代入すると、$1 = A(1)(2)(3) \implies A = \frac{1}{6}$

$k = -1$ を代入すると、$1 = B(-1)(1)(2) \implies B = -\frac{1}{2}$

$k = -2$ を代入すると、$1 = C(-2)(-1)(1) \implies C = \frac{1}{2}$

$k = -3$ を代入すると、$1 = D(-3)(-2)(-1) \implies D = -\frac{1}{6}$

したがって、

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{k} - \frac{3}{k+1} + \frac{3}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right)$

$= \frac{1}{6} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{2}{k+1} + \frac{2}{k+2} + \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right)$

$= \frac{1}{6} \left[ \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - 2 \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) + \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right) \right]$

より簡単な式変形として，

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \right)$

$\sum_{k=1}^{800} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{800} \left( \frac{1}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \right)$

これはtelescoping sum なので、

$\frac{1}{3} \left( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{1}{801 \cdot 802 \cdot 803} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{801 \cdot 802 \cdot 803} \right)$

$= \frac{1}{18} - \frac{1}{3 \cdot 801 \cdot 802 \cdot 803}$

$= \frac{1}{18} - \frac{1}{1929684606}$

$= \frac{964847303 - 9}{18 \cdot 964847303} = \frac{964847294}{17367251454}$

$= \frac{482423647}{8683625727}$

$\sum_{k=1}^{800} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} - \frac{1}{801 \cdot 802 \cdot 803}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{6}-\frac{1}{646428606}\right) = \frac{1}{18} - \frac{1}{1939285818} = \frac{323214303-1}{5817857454} = \frac{323214302}{5817857454} = \frac{161607151}{2908928727}$

3. 最終的な答え

$\frac{161607151}{2908928727}$