問題は以下の通りです。 2次関数 $y=ax^2$ のグラフが点A(4, 2)を通る。y軸上に点BをAB = OB (Oは原点)となるように取る。 (1) 点Bのy座標を求めよ。 (2) 角OBAの二等分線の式を求めよ。 (3) $y=ax^2$ 上に点Cを取り、ひし形OCADを作る。点Cのx座標をtとするとき、tが満たすべき2次方程式を求めよ。また、tの値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

2次関数 $y=ax^2$ のグラフが点A(4, 2)を通る。y軸上に点BをAB = OB (Oは原点)となるように取る。

(1) 点Bのy座標を求めよ。

(2) 角OBAの二等分線の式を求めよ。

(3) $y=ax^2$ 上に点Cを取り、ひし形OCADを作る。点Cのx座標をtとするとき、tが満たすべき2次方程式を求めよ。また、tの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A(4, 2)が $y = ax^2$ 上にあるので、代入すると $2 = a * 4^2 = 16a$。よって $a = \frac{1}{8}$。

したがって、$y = \frac{1}{8}x^2$。

点Bの座標を(0, b)とする。AB = OBより、$AB^2 = OB^2$である。

$AB^2 = (4-0)^2 + (2-b)^2 = 16 + 4 - 4b + b^2 = b^2 - 4b + 20$

$OB^2 = (0-0)^2 + (b-0)^2 = b^2$

したがって、$b^2 - 4b + 20 = b^2$

$-4b = -20$

$b = 5$

よって、点Bのy座標は5。

(2) B(0, 5)なので、OBの傾きは定義できない。

A(4, 2)なので、直線OAの傾きは $\frac{2-0}{4-0} = \frac{1}{2}$

AB = OB = 5。三角形OBAは二等辺三角形。

角OBAの二等分線を求める。点Bからx軸に垂線を下ろし、その交点をHとする。H(0,0)

$\angle OBA = \angle OAB$ である二等辺三角形なので、$\angle OBA$の二等分線は線分OAの中点を通る。線分OAの中点の座標は$(\frac{4+0}{2}, \frac{2+0}{2}) = (2,1)$

求める直線を $y = mx + 5$ とする。(0,5)を通るので。

(2, 1)を通るので $1 = 2m + 5$

$2m = -4$

$m = -2$

よって、$\angle OBA$の二等分線の式は $y = -2x + 5$

(3) 点Cの座標は $(t, \frac{1}{8}t^2)$。

ひし形OCADなので、OC = AD = OA = CD。

OC = ADより、OC // AD

$OC^2 = t^2 + (\frac{1}{8}t^2)^2 = t^2 + \frac{1}{64}t^4$

$OA^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

OC = OAなので、$t^2 + \frac{1}{64}t^4 = 20$

$\frac{1}{64}t^4 + t^2 - 20 = 0$

$t^4 + 64t^2 - 1280 = 0$

$t^2 = x$と置くと、$x^2 + 64x - 1280 = 0$

$x = \frac{-64 \pm \sqrt{64^2 - 4(-1280)}}{2} = \frac{-64 \pm \sqrt{4096 + 5120}}{2} = \frac{-64 \pm \sqrt{9216}}{2} = \frac{-64 \pm 96}{2}$

$x = \frac{-64 + 96}{2} = \frac{32}{2} = 16$ or $x = \frac{-64 - 96}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

$t^2 = 16$ or $t^2 = -80$

$t = \pm 4$ （$t^2=-80$ は実数解を持たない）

点Cは第一象限にあるので、t = 4は適さない。ただしAとCは異なる点なので。なので、点Cは第二象限にある必要があるのでt<0。

ひし形OCADより、$\vec{OC} + \vec{OA} = \vec{OD}$ である。$\vec{OA} = (4,2)$、$\vec{OC}=(t, \frac{1}{8}t^2)$。点Dの座標は$(4+t, 2 + \frac{1}{8}t^2)$。

AC // ODより、$\vec{AC} = k \vec{OD}$ となる。

$\vec{AC} = (t - 4, \frac{1}{8}t^2 - 2)$

$AC = OD$

$AC^2 = (t-4)^2 + (\frac{1}{8}t^2 - 2)^2 = (4+t)^2 + (2 + \frac{1}{8}t^2)^2 = OD^2$

$t^2 - 8t + 16 + \frac{1}{64}t^4 - \frac{1}{2}t^2 + 4 = 16 + 8t + t^2 + 4 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{64}t^4$

$-8t - \frac{1}{2}t^2 + 20 = 8t + \frac{1}{2}t^2 + 20$

$-16t - t^2 = 0$

$t(t + 16) = 0$

$t = 0$ または $t = -16$

$t = 0$ は点Oと一致するので適さない。

$t = -16$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) $y = -2x + 5$

(3) $t^4 + 64t^2 - 1280 = 0$, $t = -16$