与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算します。サラスの公式は使用できません。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算します。サラスの公式は使用できません。

2. 解き方の手順

与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}$

以下の行基本変形を行い、行列を上三角行列に変換します。

1. 2行目から1行目の2倍を引きます (2行目 ← 2行目 - 1行目 * 2)。

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}$

2. 3行目に1行目を足します (3行目 ← 3行目 + 1行目)。

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}$

3. 4行目から1行目の3倍を引きます (4行目 ← 4行目 - 1行目 * 3)。

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}$

4. 3行目から2行目の5倍を引きます (3行目 ← 3行目 - 2行目 * 5)。

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}$

5. 4行目から2行目の2倍を引きます (4行目 ← 4行目 - 2行目 * 2)。

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{pmatrix}$

6. 4行目から3行目の（4/19）倍を引きます (4行目 ← 4行目 - 3行目 * (4/19))

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 - (-12)*(4/19)

\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -28/19

\end{pmatrix}$

上三角行列の行列式は、対角成分の積で与えられます。

よって、行列式は $1 * 1 * (-19) * (-28/19) = 28$

3. 最終的な答え

28