与えられた4つの3x3行列の行列式を、Sarrusの公式を用いて計算し、必要に応じて行列式の性質を利用して計算すること。

1. 問題の内容

与えられた4つの3x3行列の行列式を、Sarrusの公式を用いて計算し、必要に応じて行列式の性質を利用して計算すること。

2. 解き方の手順

(14) 上三角行列の行列式

上三角行列の行列式は、対角成分の積に等しいことを利用する。

与えられた行列は

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

なので、行列式は $4 \cdot 1 \cdot 2 = 8$ となる。

Sarrusの公式を用いても計算できる。

$(4 \cdot 1 \cdot 2) + (2 \cdot 5 \cdot 0) + (3 \cdot 0 \cdot 0) - (3 \cdot 1 \cdot 0) - (4 \cdot 5 \cdot 0) - (2 \cdot 0 \cdot 2) = 8 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 8$

(15)

与えられた行列は

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Sarrusの公式を用いて計算する。

$(2 \cdot 4 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 0) + (3 \cdot 0 \cdot 3) - (3 \cdot 4 \cdot 0) - (2 \cdot 2 \cdot 3) - (1 \cdot 0 \cdot 1) = 8 + 0 + 0 - 0 - 12 - 0 = -4$

(16)

与えられた行列は

$\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 7 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

Sarrusの公式を用いて計算する。

$(-2 \cdot 3 \cdot 5) + (0 \cdot 4 \cdot 2) + (1 \cdot 7 \cdot 0) - (1 \cdot 3 \cdot 2) - (-2 \cdot 4 \cdot 0) - (0 \cdot 7 \cdot 5) = -30 + 0 + 0 - 6 - 0 - 0 = -36$

(17)

与えられた行列は

$\begin{pmatrix} 0 & -6 & 1 \\ 222 & 333 & -333 \\ 0 & 8 & -6 \end{pmatrix}$

2行目から $111$ をくくり出す。

$111 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -6 & 1 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 8 & -6 \end{vmatrix}$

Sarrusの公式を用いて計算する。

$111 \cdot ((0 \cdot 3 \cdot -6) + (-6 \cdot -3 \cdot 0) + (1 \cdot 2 \cdot 8) - (1 \cdot 3 \cdot 0) - (0 \cdot -3 \cdot 8) - (-6 \cdot 2 \cdot -6)) = 111 \cdot (0 + 0 + 16 - 0 - 0 - 72) = 111 \cdot (-56) = -6216$

3. 最終的な答え

(14) 8

(15) -4

(16) -36

(17) -6216