問題1: 2次関数 $y = x^2 - 3x + c$ において、$1 \le x \le 3$ のとき最小値が1となる。このときの $c$ の値を求める。 問題2: 与えられた関数のグラフを、頂点、x切片、y切片の座標を明記して描く。

1. 問題の内容

問題1: 2次関数 $y = x^2 - 3x + c$ において、$1 \le x \le 3$ のとき最小値が1となる。このときの $c$ の値を求める。

問題2: 与えられた関数のグラフを、頂点、x切片、y切片の座標を明記して描く。

2. 解き方の手順

問題1:

与えられた2次関数 $y = x^2 - 3x + c$ は、下に凸な放物線である。

頂点のx座標は、$x = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2}$ である。

定義域 $1 \le x \le 3$ の範囲内に頂点が存在する。したがって、この範囲での最小値は頂点における値である。

頂点のy座標は、$x = \frac{3}{2}$ を代入して、

$y = (\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2}) + c = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + c = -\frac{9}{4} + c$

最小値が1であるから、$-\frac{9}{4} + c = 1$。

これを解くと、$c = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$

問題2 (1): $y = x^2 - 4$

頂点: $y = x^2 - 4 = (x - 0)^2 - 4$ より、頂点は $(0, -4)$

x切片: $y = 0$ とすると、$x^2 - 4 = 0$ より、$x^2 = 4$。したがって、$x = \pm 2$。x切片は $(2, 0)$ と $(-2, 0)$

y切片: $x = 0$ とすると、$y = 0^2 - 4 = -4$。y切片は $(0, -4)$

問題2 (2): $y = x^2 - \frac{3}{2}x - 1$

頂点: 平方完成を行う。$y = (x - \frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2 - 1 = (x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16} - \frac{16}{16} = (x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{16}$。頂点は $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{16})$

x切片: $y = 0$ とすると、$x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$。解の公式より、$x = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4}}{2} = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}}{2} = \frac{\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}}{2}$。$x = \frac{\frac{3}{2} + \frac{5}{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ または $x = \frac{\frac{3}{2} - \frac{5}{2}}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$。x切片は $(2, 0)$ と $(-\frac{1}{2}, 0)$

y切片: $x = 0$ とすると、$y = 0^2 - \frac{3}{2}(0) - 1 = -1$。y切片は $(0, -1)$

問題2 (3): $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{4}x + 1$

頂点: $y = \frac{1}{2}(x^2 - \frac{9}{2}x) + 1 = \frac{1}{2}[(x - \frac{9}{4})^2 - (\frac{9}{4})^2] + 1 = \frac{1}{2}(x - \frac{9}{4})^2 - \frac{1}{2}\cdot \frac{81}{16} + 1 = \frac{1}{2}(x - \frac{9}{4})^2 - \frac{81}{32} + \frac{32}{32} = \frac{1}{2}(x - \frac{9}{4})^2 - \frac{49}{32}$。頂点は $(\frac{9}{4}, -\frac{49}{32})$

x切片: $y = 0$ とすると、$\frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{4}x + 1 = 0$。$2x^2 - 9x + 4 = 0$。$(2x-1)(x-4)=0$。$x = \frac{1}{2}, 4$。x切片は $(\frac{1}{2}, 0)$ と $(4, 0)$

y切片: $x = 0$ とすると、$y = \frac{1}{2}(0)^2 - \frac{9}{4}(0) + 1 = 1$。y切片は $(0, 1)$

3. 最終的な答え

問題1: $c = \frac{13}{4}$

問題2:

(1)

頂点: $(0, -4)$

x切片: $(2, 0)$, $(-2, 0)$

y切片: $(0, -4)$

(2)

頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{16})$

x切片: $(2, 0)$, $(-\frac{1}{2}, 0)$

y切片: $(0, -1)$

(3)

頂点: $(\frac{9}{4}, -\frac{49}{32})$

x切片: $(\frac{1}{2}, 0)$, $(4, 0)$

y切片: $(0, 1)$