与えられた行列式の値を計算し、与えられた置換の符号を求める問題です。行列式は3x3と3x3の2種類、そして特殊な形の3x3行列式が与えられています。置換の符号は3つの置換に対して計算します。

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算し、与えられた置換の符号を求める問題です。行列式は3x3と3x3の2種類、そして特殊な形の3x3行列式が与えられています。置換の符号は3つの置換に対して計算します。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の値を求める手順

3x3行列式の値を求めるには、サラスの公式（たすき掛け）を利用します。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ の行列式は、

$|A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

で計算できます。

(2) 置換の符号を求める手順

置換の符号を求めるには、互換の回数を数えます。

置換を互換の積で表し、互換の回数が偶数なら符号は+1、奇数なら符号は-1です。

別の方法としては、転倒数を利用します。転倒数とは、置換後の数列において、元の数列の順序が逆になっているペアの数です。転倒数が偶数なら符号は+1、奇数なら符号は-1です。

(1)

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1)(1) + (-2)(-2)(3) + (1)(2)(2) - (1)(1)(3) - (-2)(2)(1) - (1)(-2)(2) = 1 + 12 + 4 - 3 + 4 + 4 = 22$

(2)

$\begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\ -3 & 4 & 1 \\ 5 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(4)(3) + (5)(1)(5) + (-2)(-3)(-1) - (-2)(4)(5) - (5)(-3)(3) - (1)(1)(-1) = 12 + 25 - 6 + 40 + 45 + 1 = 117$

(3)

$\begin{vmatrix} 2 & -6 & 0 \\ 2 & 3 & -4 \\ 0 & 3 & -4 \end{vmatrix} = (2)(3)(-4) + (-6)(-4)(0) + (0)(2)(3) - (0)(3)(0) - (-6)(2)(-4) - (2)(-4)(3) = -24 + 0 + 0 - 0 - 48 + 24 = -48$

(4)

$\begin{vmatrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (a)(d)(1) + (b)(0)(0) + (0)(c)(0) - (0)(d)(0) - (b)(c)(1) - (a)(0)(0) = ad - bc$

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

これは (1 3 2) という巡回置換であり、(1 2)(2 3)という2つの互換の積で表せるので、符号は +1 * -1 * -1 = +

1. または転倒数は(3,1)と(3,2)の2つなので符号は+1。

(6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

これは (2 4 3) という巡回置換であり、(2 3)(3 4)という2つの互換の積で表せるので、符号は +1 * -1 * -1 = +

1. または転倒数は(4,2)と(4,3)の2つなので符号は+1。

(7) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

これは (1 4 2 3) という巡回置換であり、(1 3)(1 2)(1 4)という3つの互換の積で表せるので、符号は +1 * -1 * -1 * -1 = -

1. または転倒数は(4,3), (4,1), (4,2), (3,1), (3,2) の5つなので符号は-1。

3. 最終的な答え

(1) 22

(2) 117

(3) -48

(4) ad - bc

(5) 1

(6) 1

(7) -1