与えられた4元連立一次方程式を解きます。 $x + y + z + w = 1$ $2x + 3y - 2z + 3w = 2$ $-x - 2y + 3z - 2w = -1$ $5x + 6y + z + 6w = 5$

1. 問題の内容

与えられた4元連立一次方程式を解きます。

$x + y + z + w = 1$

$2x + 3y - 2z + 3w = 2$

$-x - 2y + 3z - 2w = -1$

$5x + 6y + z + 6w = 5$

2. 解き方の手順

ガウスの消去法を用いて解きます。まず、第一式を基準として、$x$の係数を消去します。

(2式) - 2 * (1式):

$2x + 3y - 2z + 3w - 2(x + y + z + w) = 2 - 2(1)$

$y - 4z + w = 0$ (5式)

(3式) + (1式):

$-x - 2y + 3z - 2w + (x + y + z + w) = -1 + 1$

$-y + 4z - w = 0$ (6式)

(4式) - 5 * (1式):

$5x + 6y + z + 6w - 5(x + y + z + w) = 5 - 5(1)$

$y - 4z + w = 0$ (7式)

(6式)に(5式)を加えると、

$y - 4z + w + (-y + 4z - w) = 0 + 0$

$0 = 0$

(7式)は(5式)と同じです。

(5式)より、$y = 4z - w$ を得ます。これを(1式)に代入すると、

$x + (4z - w) + z + w = 1$

$x + 5z = 1$

$x = 1 - 5z$

以上より、$x = 1 - 5z$、$y = 4z - w$ です。 $z$ と $w$ をパラメータとして表現できます。

$x = 1 - 5z$

$y = 4z - w$

これを(2式)に代入すると、

$2(1 - 5z) + 3(4z - w) - 2z + 3w = 2$

$2 - 10z + 12z - 3w - 2z + 3w = 2$

$2 = 2$

これも常に成り立つ式です。

(3式)に代入すると、

$-(1 - 5z) - 2(4z - w) + 3z - 2w = -1$

$-1 + 5z - 8z + 2w + 3z - 2w = -1$

$-1 = -1$

これも常に成り立つ式です。

(4式)に代入すると、

$5(1 - 5z) + 6(4z - w) + z + 6w = 5$

$5 - 25z + 24z - 6w + z + 6w = 5$

$5 = 5$

これも常に成り立つ式です。

したがって、解は $x = 1 - 5z$, $y = 4z - w$ であり、$z$と$w$は任意の実数です。

3. 最終的な答え

$x = 1 - 5z$

$y = 4z - w$

ここで、$z$と$w$は任意の実数である。