**(8) (上三角行列の行列式)**
Sarrusの公式を用いて、3x3行列の行列式を計算します。
a00xb0yzc=a⋅b⋅c+x⋅z⋅0+y⋅0⋅0−y⋅b⋅0−a⋅z⋅0−x⋅0⋅c =abc+0+0−0−0−0=abc **(9) (下三角行列の行列式)**
同様に、Sarrusの公式を用いて計算します。
axy0bz00c=a⋅b⋅c+0⋅0⋅y+0⋅x⋅z−0⋅b⋅y−a⋅0⋅z−0⋅x⋅c =abc+0+0−0−0−0=abc **(10) (次数下げ)**
Sarrusの公式を用いるか、第一列で余因子展開を行います。第一列で余因子展開する方が計算量が少なくなります。
x00yaczbd=xacbd−0yczd+0yazb =x(ad−bc)−0+0=xacbd **(11) (行交換)**
Sarrusの公式を用いると、行を交換すると行列式の符号が反転することがわかります。
ax1by2cz3=3ay+2cx+bz−cy−2az−3bx xa1yb2zc3=3bx+2cy+az−by−2az−3cx=−(3ay+2cx+bz−cy−2az−3bx) したがって、
ax1by2cz3=−xa1yb2zc3 **(12) (列交換)**
Sarrusの公式を用いると、列を交換すると行列式の符号が反転することがわかります。
abcxyz123=3ay+2cx+bz−cy−2az−3bx xyzabc123=3bx+2cy+az−by−2az−3cx=−(3ay+2cx+bz−cy−2az−3bx) したがって、
abcxyz123=−xyzabc123 **(13) (くくり出し)**
Sarrusの公式を用います。
kax1kby2kcz3=3kay+2kcx+kbz−kcy−2kaz−3kbx=k(3ay+2cx+bz−cy−2az−3bx) ax1by2cz3=3ay+2cx+bz−cy−2az−3bx したがって、
kax1kby2kcz3=kax1by2cz3 ###
