与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算します。サラスの方法は使用できません。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算します。サラスの方法は使用できません。

2. 解き方の手順

与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

以下の行基本変形を行います。

ステップ1: 第2行から第1行の2倍を引く (第2行 - 第1行 x 2)

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

ステップ2: 第3行に第1行を加える (第3行 + 第1行)

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

ステップ3: 第4行から第1行の3倍を引く (第4行 - 第1行 x 3)

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

ステップ4: 第3行から第2行の5倍を引く (第3行 - 第2行 x 5)

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

ステップ5: 第4行から第2行の2倍を引く (第4行 - 第2行 x 2)

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \end{pmatrix}$

ステップ6: 第4行から第3行の4/19倍を引く(第4行 - 第3行 x 4/19)

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & -4 + 48/19 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & -28/19 \end{pmatrix}$

行列式は対角成分の積で計算できます。

$\det(A) = 1 \times 1 \times (-19) \times (-28/19) = 28$

3. 最終的な答え

28