与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算します。ただし、サラスの公式は使えません。 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算します。ただし、サラスの公式は使えません。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) 1行目を基準にして、2,3,4行目の第1成分を0にします。

* 2行目 - 2 * 1行目：

$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$

* 3行目 + 1行目：

$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$

* 4行目 - 3 * 1行目：

$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$

(2) 2行目を基準にして、3,4行目の第2成分を0にします。

* 3行目 - 5 * 2行目：

$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$

* 4行目 - 2 * 2行目：

$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{vmatrix}

$

(3) 3行目を基準にして、4行目の第3成分を0にします。

* 4行目 - (4/19) * 3行目：

$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 + (4/19) * 12

\end{vmatrix}

$

$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & (-76 + 48)/19

\end{vmatrix}

$

$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -28/19

\end{vmatrix}

$

(4) 対角成分を掛け合わせる：

$1 * 1 * (-19) * (-28/19) = 28$

3. 最終的な答え

28