与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて上三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する。サラスの方法は使わない。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて上三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する。サラスの方法は使わない。

2. 解き方の手順

与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1. 2行目から1行目の2倍を引きます（2行目 = 2行目 - 1行目 * 2）

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2. 3行目に1行目を足します（3行目 = 3行目 + 1行目）

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 4行目から1行目の3倍を引きます（4行目 = 4行目 - 1行目 * 3）

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

4. 3行目から2行目の5倍を引きます（3行目 = 3行目 - 2行目 * 5）

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

5. 4行目から2行目の2倍を引きます（4行目 = 4行目 - 2行目 * 2）

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \end{pmatrix}$

6. 4行目から3行目の (-4/-19) 倍を引きます（4行目 = 4行目 - 3行目 * (-4/19)）

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & -4 - (-12)(-4/19) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & -28/19 \end{pmatrix}$

行列式は、対角成分の積で求められます。

$1 \cdot 1 \cdot (-19) \cdot (-\frac{28}{19}) = 28$

3. 最終的な答え

28