数学的帰納法を用いて、次の等式を証明します。 $4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の等式を証明します。

$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき

左辺は $4$

右辺は $1 - (-3)^1 = 1 - (-3) = 4$

したがって、$n = 1$ のとき、等式は成り立つ。

(2) $n = k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{k-1} = 1 - (-3)^k$ が成り立つと仮定する。

(3) $n = k+1$ のとき

$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{k-1} + 4 \cdot (-3)^k$

$= 1 - (-3)^k + 4 \cdot (-3)^k$ (仮定より)

$= 1 + 3 \cdot (-3)^k$

$= 1 + (-3) \cdot (-3)^k \cdot (-1) = 1 - (-3)^{k+1}$

したがって、$n = k+1$ のときも等式は成り立つ。

(1), (3) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について、等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ について、$4 + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot (-3)^2 + \dots + 4 \cdot (-3)^{n-1} = 1 - (-3)^n$ が成り立つ。