次の2つの指数方程式を解きます。 (1) $4^x + 2 \cdot 2^x - 3 = 0$ (2) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの指数方程式を解きます。

(1) $4^x + 2 \cdot 2^x - 3 = 0$

(2) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ であることを利用します。$2^x = t$ と置換すると、方程式は以下のようになります。

$t^2 + 2t - 3 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(t+3)(t-1) = 0$

よって、$t = -3$ または $t = 1$ となります。

$t = 2^x$ なので、$2^x = -3$ または $2^x = 1$ となります。

$2^x = -3$ となる実数 $x$ は存在しません。なぜなら、$2^x$ は常に正の値を取るからです。

$2^x = 1$ のとき、$x = 0$ となります。

(2)

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ であることを利用します。$3^x = u$ と置換すると、方程式は以下のようになります。

$u^2 - 4u + 3 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(u-1)(u-3) = 0$

よって、$u = 1$ または $u = 3$ となります。

$u = 3^x$ なので、$3^x = 1$ または $3^x = 3$ となります。

$3^x = 1$ のとき、$x = 0$ となります。

$3^x = 3$ のとき、$x = 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$

(2) $x = 0, 1$