与えられた3次式を因数分解し、空欄を埋めてください。解答の数値は小さい順に記述してください。 (1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ (2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$

1. 問題の内容

与えられた3次式を因数分解し、空欄を埋めてください。解答の数値は小さい順に記述してください。

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

(2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ とおきます。

$f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ なので、$x-1$ を因数に持ちます。

$f(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$ なので、$x-2$ を因数に持ちます。

$f(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$ なので、$x-3$ を因数に持ちます。

したがって、

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$ と因数分解できます。

小さい順に並べると、$x-3, x-2, x-1$となります。

(2)

$g(x) = x^3 + 10x^2 + 31x + 30$ とおきます。

$g(-2) = -8 + 40 - 62 + 30 = 0$ なので、$x+2$ を因数に持ちます。

$g(-3) = -27 + 90 - 93 + 30 = 0$ なので、$x+3$ を因数に持ちます。

$g(-5) = -125 + 250 - 155 + 30 = 0$ なので、$x+5$ を因数に持ちます。

したがって、

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x+2)(x+3)(x+5)$ と因数分解できます。

小さい順に並べると、$x+2, x+3, x+5$となります。

3. 最終的な答え

(1)

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

(2)

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x+2)(x+3)(x+5)$