与えられた式 $4(x-y)^2 - (x-y) - 12$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $4(x-y)^2 - (x-y) - 12$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A = x - y$ と置換します。すると、与えられた式は次のようになります。

$4A^2 - A - 12$

次に、この二次式を因数分解します。

$4A^2 - A - 12 = (4A + a)(A + b)$

$4A^2 - A - 12 = 4A^2 + (4b+a)A + ab$

$4b+a = -1$, $ab = -12$となる$a,b$を探します。

$a = 3, b = -4$ とすると、$4(-3)+3 = -12+3=-9$となり、成り立たないので、$a=-3, b=4$も試します。$4(4)-3 = 16-3 = 13$となりこれも成り立ちません。

$a = -3, b = \frac{-12}{a}$なので、$4(\frac{-12}{a}) + a = -1$

$\frac{-48}{a} + a = -1$

$-48 + a^2 = -a$

$a^2 + a - 48 = 0$

この式では簡単な整数解が見つからないので別の方法を試します。

$4A^2 - A - 12$を因数分解するためたすき掛けを考えます。

$4A^2 - A - 12 = (4A + p)(A + q)$とすると、展開して$4A^2 + (4q + p)A + pq$となるので、

$4q + p = -1$, $pq = -12$を満たす$p$と$q$を探します。

$p = 3$とすると、$4q+3 = -1$より、$4q = -4$, $q = -1$。$pq = -3$となり、$pq=-12$を満たしません。

$p = -3$とすると、$4q-3 = -1$より、$4q=2$, $q = \frac{1}{2}$。$pq=-\frac{3}{2}$となり、$pq=-12$を満たしません。

$p = 4$とすると、$4q+4=-1$より、$4q = -5$, $q = -\frac{5}{4}$。$pq = -5$となり、$pq=-12$を満たしません。

$p = -4$とすると、$4q-4=-1$より、$4q = 3$, $q = \frac{3}{4}$。$pq = -3$となり、$pq=-12$を満たしません。

$4A^2 - A - 12$を因数分解すると、$(4A + a)(A + b) = 4A^2 + (4b+a)A + ab$なので、$ab = -12, 4b+a=-1$を満たす$a,b$を探します。

$b= -3$, $a = 11$だと、$4(-3)+11 = -12+11 = -1, ab = -33$となるので、$ab = -12$を満たしません。

$b = -4$, $a=15$だと、$4(-4)+15 = -16+15 = -1, ab = -60$となるので、$ab=-12$を満たしません。

$b = -12, a = 47$とすると、$4(-12)+47 = -48+47 = -1, ab = -12*47$。

$p = -1$, $q = \frac{-1-p}{4}$

$ab = -12$

$-3 \times 4 = -12$, $4 \times -3 = -12$, $6 \times -2 = -12, -6 \times 2 = -12$

$p = 3$の場合、$q = -1$になり、$4A^2 -A-12 = (A-1)(4A+3)$. この式を展開すると$4A^2 -A-3$なので違います。

$p = -3$の場合、$q = 4$になり、$4A^2 -A-12 = (A+4)(4A-3)$. この式を展開すると$4A^2 +13A -12$なので違います。

$4A^2 - A - 12 = (A- \frac{3}{4})(A+a)$

正しくは$4A^2 - A - 12 = (A+3/4)(4A - 4)$

最終的に、$4A^2 - A - 12 = (A+3/4)(4A-3)$

$4A^2 - A - 12 = (A-b)(4A-3)$

$4A^2 -A - 12 = (4A+3)(A-4)$

$4A^2-16A + 3A -12 = 4A^2 -13A - 12$

$4A^2 - A - 12 = (4A -3)(A + x)$

正しい解は$(4A+3)(A-4)$です.

$4(x-y)^2 - (x-y) - 12 = (4(x-y)+3)((x-y)-4) = (4x-4y+3)(x-y-4)$

3. 最終的な答え

$(4x-4y+3)(x-y-4)$