2つの等差数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があり、それぞれの公差は $d_1$ と $d_2$ である。次の数列 $\{c_n\}$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求めよ。 (1) $c_n = -3a_n$ (2) $c_n = a_n - 2b_n$

1. 問題の内容

2つの等差数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があり、それぞれの公差は $d_1$ と $d_2$ である。次の数列 $\{c_n\}$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求めよ。

(1) $c_n = -3a_n$

(2) $c_n = a_n - 2b_n$

2. 解き方の手順

(1) $c_n = -3a_n$ の場合：

数列 $\{a_n\}$ は公差 $d_1$ の等差数列なので、$a_{n+1} = a_n + d_1$ が成り立つ。

$c_{n+1} - c_n$ を計算する。

$c_{n+1} - c_n = -3a_{n+1} - (-3a_n) = -3(a_{n+1} - a_n) = -3d_1$

$c_{n+1} - c_n$ は $n$ に依存しない定数なので、数列 $\{c_n\}$ は等差数列である。

初項 $c_1 = -3a_1$

公差 $-3d_1$

(2) $c_n = a_n - 2b_n$ の場合：

数列 $\{a_n\}$ は公差 $d_1$ の等差数列なので、$a_{n+1} = a_n + d_1$ が成り立つ。

数列 $\{b_n\}$ は公差 $d_2$ の等差数列なので、$b_{n+1} = b_n + d_2$ が成り立つ。

$c_{n+1} - c_n$ を計算する。

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 2b_{n+1}) - (a_n - 2b_n) = (a_{n+1} - a_n) - 2(b_{n+1} - b_n) = d_1 - 2d_2$

$c_{n+1} - c_n$ は $n$ に依存しない定数なので、数列 $\{c_n\}$ は等差数列である。

初項 $c_1 = a_1 - 2b_1$

公差 $d_1 - 2d_2$

3. 最終的な答え

(1) $c_n = -3a_n$ の場合：

初項: $-3a_1$

公差: $-3d_1$

(2) $c_n = a_n - 2b_n$ の場合：

初項: $a_1 - 2b_1$

公差: $d_1 - 2d_2$