数直線上を動く点Pがあり、最初は原点にいる。さいころを投げて、2以下の目が出たら正の方向に1進み、3以上の目が出たら負の方向に2進む。 (1) さいころを3回投げたとき、点Pが原点にくる確率を求める。 (2) さいころを5回投げたとき、点Pの座標が-4または2になる確率を求める。

1. 問題の内容

数直線上を動く点Pがあり、最初は原点にいる。さいころを投げて、2以下の目が出たら正の方向に1進み、3以上の目が出たら負の方向に2進む。

(1) さいころを3回投げたとき、点Pが原点にくる確率を求める。

(2) さいころを5回投げたとき、点Pの座標が-4または2になる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) さいころを3回投げて原点に戻る場合を考える。

正の方向に1進む確率（2以下の目が出る確率）は $1/3$ 、負の方向に2進む確率（3以上の目が出る確率）は $2/3$ である。

原点に戻るためには、正の方向に進む回数を $x$ 回、負の方向に進む回数を $y$ 回とすると、

$x + y = 3$ かつ $x - 2y = 0$を満たす必要がある。

この連立方程式を解くと、$x = 2$、$y = 1$となる。

したがって、3回のうち2回正の方向に1進み、1回負の方向に2進む必要がある。

この場合の数は、${}_3C_2 = 3$通り。

それぞれの確率は、$(\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{27}$

よって、求める確率は、${}_3C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 = 3 \times \frac{2}{27} = \frac{2}{9}$

(2) さいころを5回投げて点Pの座標が-4または2になる場合を考える。

正の方向に1進む回数を $x$ 回、負の方向に2進む回数を $y$ 回とする。

(i) 点Pの座標が-4のとき

$x + y = 5$ かつ $x - 2y = -4$を満たす。

これを解くと $x = 2$、$y = 3$となる。

5回のうち2回正の方向に1進み、3回負の方向に2進む必要がある。

この場合の数は、${}_5C_2 = 10$通り。

それぞれの確率は、$(\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{243}$

よって、確率は、${}_5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{8}{243} = \frac{80}{243}$

(ii) 点Pの座標が2のとき

$x + y = 5$ かつ $x - 2y = 2$を満たす。

これを解くと $x = 4$、$y = 1$となる。

5回のうち4回正の方向に1進み、1回負の方向に2進む必要がある。

この場合の数は、${}_5C_4 = 5$通り。

それぞれの確率は、$(\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{243}$

よって、確率は、${}_5C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{2}{243} = \frac{10}{243}$

(i)と(ii)は排反なので、求める確率は、$\frac{80}{243} + \frac{10}{243} = \frac{90}{243} = \frac{10}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) $\frac{10}{27}$