A, B, Cの3つのクラスがあり、通学手段ごとの生徒数が表に示されている。まず、無作為にクラスを1つ選び、次にそのクラスから無作為に1人を選ぶ。選ばれた生徒がバス通学であるとき、その生徒がBクラスに所属している条件付き確率を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

A, B, Cの3つのクラスがあり、通学手段ごとの生徒数が表に示されている。まず、無作為にクラスを1つ選び、次にそのクラスから無作為に1人を選ぶ。選ばれた生徒がバス通学であるとき、その生徒がBクラスに所属している条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、クラスを選ぶ確率と、各クラスでバス通学の生徒を選ぶ確率を考慮して、バス通学の生徒が選ばれる確率を計算する。次に、バス通学の生徒が選ばれたという条件のもとで、その生徒がBクラスに所属している確率を計算する。

(1) 各クラスが選ばれる確率は等しく、$\frac{1}{3}$ である。

(2) 各クラスでバス通学の生徒が選ばれる確率は、以下の通りである。

* Aクラス: $\frac{5}{\text{Aクラスの生徒数}} = \frac{5}{5+15+25} = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}$

* Bクラス: $\frac{8}{\text{Bクラスの生徒数}} = \frac{8}{8+18+10} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

* Cクラス: $\frac{6}{\text{Cクラスの生徒数}} = \frac{6}{6+6+30} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

(3) バス通学の生徒が選ばれる確率は、

$P(\text{バス}) = P(\text{A})\times P(\text{バス}|\text{A}) + P(\text{B})\times P(\text{バス}|\text{B}) + P(\text{C})\times P(\text{バス}|\text{C})$

$P(\text{バス}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{7}$

$P(\text{バス}) = \frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{1}{21} = \frac{3}{27} + \frac{1}{21} = \frac{1}{9} + \frac{1}{21} = \frac{7}{63} + \frac{3}{63} = \frac{10}{63}$

(4) バス通学の生徒が選ばれたとき、その生徒がBクラスに所属している条件付き確率は、

$P(\text{B}|\text{バス}) = \frac{P(\text{B} \cap \text{バス})}{P(\text{バス})} = \frac{P(\text{B})\times P(\text{バス}|\text{B})}{P(\text{バス})}$

$P(\text{B}|\text{バス}) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{9}}{\frac{10}{63}} = \frac{\frac{2}{27}}{\frac{10}{63}} = \frac{2}{27} \times \frac{63}{10} = \frac{2 \times 63}{27 \times 10} = \frac{2 \times 7}{3 \times 10} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{15}$